AE \perp AC
AD \perp BC
|BE| = |ED|
|AD| = 6 cm
|AB| = 10 cm
olduğuna göre, |DC| = x kaç cm’dir?
A) 10
B) 9
C) 12
D) 15
E) 8
Dik Üçgende Pisagor ve Öklid Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (Öklid Yükseklik Bağıntısı: h^2 = p \cdot k).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — \triangle ABD Dik Üçgeninde Pisagor Teoremi ile |BD| Uzunluğunun Bulunması
AD \perp BC olduğundan \triangle ABD bir dik üçgendir. Verilen |AB| = 10\text{ cm} ve |AD| = 6\text{ cm} değerleri kullanılarak özel 6-8-10 dik üçgeninden (3k-4k-5k):
|BD| = \sqrt{|AB|^2 - |AD|^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}
Adım 2 — |ED| Parçasının Hesaplanması
B, E, D doğrusal noktalar olup |BE| = |ED| eşitliği verilmiştir:
|BE| + |ED| = |BD| \implies 2 \cdot |ED| = 8 \implies |ED| = 4\text{ cm}
Adım 3 — \triangle EAC Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısının Uygulanması
AE \perp AC olduğundan m(\widehat{EAC}) = 90^\circ olur. Dolayısıyla \triangle EAC üçgeninde tepe açısı diktir ve [AD] hipotenüse inen dikmedir (AD \perp EC). Öklid yüksekliği bağıntısı uygulanır:
|AD|^2 = |ED| \cdot |DC|
6^2 = 4 \cdot x
36 = 4x \implies x = 9\text{ cm}
CEVAP: B) 9 (|DC| = 9\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda AE \perp AC dikliği büyük üçgenin (\triangle ABC) değil, \triangle EAC üçgeninin tepe açısının 90^\circ olduğunu belirtir. Öklid bağıntısını doğru üçgende (EAC) kurmak soruyu tek işlemde çözdürür.