Adım adım çöz

LİSE 9.Sınıf Matematik
1

17443040088039152192756427598765
17443040088039152192756427598765720×960 21.6 KB

9.sınıf

2

Soru: A ve B direklerinin orta noktaları arasındaki uzaklık 13 metre olduğuna göre, B direğinin boyu kaç metredir?

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için önce verilen bilgileri dikkatlice analiz edelim. Soruda bir yol üzerinde dikilen A ve B direklerinin boyları ve iki direğin orta noktaları arasındaki mesafe verilmiştir. Bu bilgiler ışığında matematiksel bir çözüm sağlayabiliriz.

Adımlar:

  1. Verilenler:

    • A direğinin boyu: 8 metre
    • A ve B direkleri arasındaki yatay uzaklık: 12 metre
    • Orta noktalar arası uzaklık: 13 metre

  2. Orta Noktaların Koordinatları:

    • A direğinin orta noktası (ayakta dik durduğunu varsayıyoruz):
      A_\text{orta} = (0, \frac{8}{2}) = (0, 4)
    • B direğinin boyu bilinmediği için (h) olarak düşünelim. Bu durumda, B direğinin orta noktası ise:
      B_\text{orta} = (12, \frac{h}{2})

  3. Orta Noktaların Uzaklık Formülü:
    Orta noktalar arası uzaklık soruda 13 metre olarak verilmiştir. İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için:

    d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

    Bu durumda:

    \sqrt{(12 - 0)^2 + \left(\frac{h}{2} - 4\right)^2} = 13

  4. Bu Denklemi Çözelim:
    a) İlk olarak ifadeyi sadeleştirelim:

    \sqrt{12^2 + \left(\frac{h}{2} - 4\right)^2} = 13
    \sqrt{144 + \left(\frac{h}{2} - 4\right)^2} = 13

    b) Her iki tarafın karesini alalım:

    144 + \left(\frac{h}{2} - 4\right)^2 = 169

    c) $144$’ü diğer tarafa taşıyalım:

    \left(\frac{h}{2} - 4\right)^2 = 25

    d) Her iki tarafın karekökünü alalım:

    \frac{h}{2} - 4 = \pm 5

  5. Sonuçları Hesaplayalım:
    \frac{h}{2} - 4 = 5 durumunda:

    \frac{h}{2} = 9 \implies h = 18

    \frac{h}{2} - 4 = -5 durumunda:

    \frac{h}{2} = -1 \implies h = -2

    Ancak burada, negatif bir boyut mümkün olmadığı için h = 18 alınır.

Cevap:

B direğinin boyu 18 metredir.

Doğru Seçenek: A) 18

Eğer başka soruların varsa çekinmeden sorabilirsin! :blush:
@username

3

22. Soru: A ve B direkleri 12 metre aralıkla yola dik dikilmiştir. A direğinin boyu 8 metredir. A ve B direklerinin orta noktaları arasındaki uzaklık 13 metre olduğuna göre, B direğinin boyu kaç metredir?

İzlenecek Adımlar

A direğinin boyu 8 m olduğu için orta noktası, yerden 4 m yüksekliktedir.

B direğinin boyuna (x) dersek B direğinin orta noktası, yerden (\frac{x}{2}) yükseklikte bulunur.

A ve B direklerinin zeminde aralıkları 12 m olarak verilmiştir.

  • A direğinin orta noktası (koordinat düzleminde) (0,4) gibi düşünülebilir.
  • B direğinin orta noktası (12,\ \tfrac{x}{2}) konumunda olur.

Orta noktalar arası 13 m uzaklık olduğu için Öklid (Pisagor) bağıntısını uygularız:

\sqrt{(12 - 0)^2 + \left(\frac{x}{2} - 4\right)^2} = 13

Denklemi adım adım çözelim:

  • ( (12)^2 + \left(\tfrac{x}{2} - 4\right)^2 = 13^2 )

  • ( 144 + \left(\tfrac{x}{2} - 4\right)^2 = 169 )

  • ( \left(\tfrac{x}{2} - 4\right)^2 = 169 - 144 = 25 )

  • ( \tfrac{x}{2} - 4 = \pm 5 )

    a. ( \tfrac{x}{2} - 4 = 5 \implies \tfrac{x}{2} = 9 \implies x = 18 )
    b. ( \tfrac{x}{2} - 4 = -5 \implies \tfrac{x}{2} = -1 \implies x = -2 ) (Fiziksel olarak uzunluk negatif olmayacağı için geçersiz)

Bu nedenle geçerli çözüm ( x = 18 ) metredir. B direğinin boyu 18 metredir.

Özet Tablo

Değişken Anlam Değer/Hesaplama
A direği boyu 8 m A orta noktası: 4 m
B direği boyu x m B orta noktası: x/2
Direk tabanları arası mesafe 12 m Orta noktalar arası 13 m
Denklemin çözümleri (x/2 - 4)^2 = 25 x = 18 (geçerli), x = -2 (geçersiz)
Sonuç B direği boyu 18 m

Cevap: B direğinin boyu 18 metredir.

@Meryem_Seker1

4

22. Doğrusal bir yolda 12 metre aralıklarla ve yola dik olarak dikilen direklerden A direğinin boyu 8 metredir. A ve B direklerinin orta noktaları arasındaki uzaklık 13 metre olduğuna göre, B direğinin boyu kaç metredir?

Cevap:

Adım Adım Çözüm

  1. Bilgileri Düzenleyelim:

    • İki dik direk: A ve B.
    • A direği 8 metre uzunluğunda.
    • A ve B direkleri arasındaki yatay uzaklık (taban) 12 metredir.
    • A ve B direklerinin orta noktaları arasındaki uzaklık 13 metredir.

  2. Orta Noktaların Koordinatları:

    • A direğinin orta noktası (8 metrelik bir direğin yarısı): 8/2 = 4 m yüksekte olduğundan, onu koordinat düzleminde (0, 4) noktası olarak kabul edebiliriz.
    • B direğinin boyu (bilinmiyor) = B. Orta noktası B/2 yükseklikte olduğundan, bu noktayı (12, B/2) olarak kabul edebiliriz. (Burada 12 sayısı, A ile B arasındaki yatay uzaklığa karşılık gelir.)

  3. İki Orta Nokta Arasındaki Uzaklık (13 m):
    İki nokta (x₁, y₁) = (0, 4) ve (x₂, y₂) = (12, B/2) arasındaki uzaklık formülü:

    \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 13

    Sayılar yerine koyduğumuzda:

    \sqrt{(12 - 0)^2 + \left(\frac{B}{2} - 4\right)^2} = 13
    \sqrt{144 + \left(\frac{B}{2} - 4\right)^2} = 13

  4. Denklemi Çözme:

    144 + \left(\frac{B}{2} - 4\right)^2 = 13^2 = 169
    \left(\frac{B}{2} - 4\right)^2 = 169 - 144 = 25
    \frac{B}{2} - 4 = \pm 5

    Buradan iki sonuç çıkar:

    • \frac{B}{2} - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{B}{2} = 9 \quad \Rightarrow \quad B = 18
    • \frac{B}{2} - 4 = -5 \quad \Rightarrow \quad \frac{B}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad B = -2 (Boy uzunluğunun negatif olması mümkün olmadığı için elenir.)

Dolayısıyla B direğinin boyu 18 metredir.

@User