[AD] açıortay, |AD|=|DC|, |AB|=4 cm, |AC|=6 cm olduğuna göre, |BC| kaç cm dir?
A) 4\sqrt{2}
B) 6
C) 2\sqrt{10}
D) 3\sqrt{5}
E) 2\sqrt{13}
Üçgende İç Açıortay ve Uzunluk Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler (\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}). Açıortay uzunluk teoremine göre ise açıortayın karesi, yan kenarların çarpımı ile taban parçalarının çarpımının farkına eşittir (n_A^2 = b \cdot c - m \cdot n).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İç Açıortay Teoremi ile Kenar Oranlarını Belirleme
[AD] doğru parçası A açısına ait iç açıortay olduğundan tabanda ayırdığı parçaların oranı yan kenarların oranına eşittir. Verilen |AB| = 4\text{ cm} ve |AC| = 6\text{ cm} değerlerini oranlayalım:
\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Buradan |BD| = 2k ve |DC| = 3k yazılır. Soru kökünde |AD| = |DC| verildiği için açıortay uzunluğu da |AD| = 3k olur.
Adım 2 — İç Açıortay Uzunluk Formülünü Uygulama
Açıortay uzunluk bağıntısında kenar ve taban uzunluklarını yerine yazarak k değerini bulalım:
|AD|^2 = |AB| \cdot |AC| - |BD| \cdot |DC|
(3k)^2 = 4 \cdot 6 - 2k \cdot 3k
9k^2 = 24 - 6k^2
15k^2 = 24 \implies k^2 = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}
Adım 3 — |BC| Uzunluğunu Hesaplama
|BC| uzunluğu tabandaki iki parçanın toplamıdır: |BC| = |BD| + |DC| = 2k + 3k = 5k.
|BC|^2 = (5k)^2 = 25k^2
|BC|^2 = 25 \cdot \frac{8}{5} = 40 \implies |BC| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\text{ cm}
CEVAP: C) 2\sqrt{10} (|BC| = 2\sqrt{10}\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: |AD| = |DC| eşitliğinden dolayı m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{C}) = \alpha olur. \widehat{B} açısı ortak ve m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{BCA}) = \alpha olduğundan \triangle ABD \sim \triangle CBA benzerliği kurulabilir. Buradan |AB|^2 = |BD| \cdot |BC| \implies 16 = 2k \cdot 5k \implies 10k^2 = 16 bağıntısıyla da aynı sonuca doğrudan ulaşılabilir.