Soru: ABCD dikdörtgeninde verilenlere göre, |EF| uzunluğu kaç cm’dir?
Çözüm:
Verilenler:
- ABCD dikdörtgen,
- EF \perp AH,
- |AD| = 10 cm,
- |DE| = 2 cm,
- |EC| = 6 cm,
- |HC| = 4 cm.
Şekle göre, EF uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyelim
- AD = 10 cm (dikdörtgenin bir kenarı),
- DE = 2 cm ve EC = 6 cm olduğuna göre, DC = DE + EC = 2 + 6 = 8 cm,
- HC = 4 cm verilmiş.
Adım 2: Noktaların koordinatlarını belirleyelim
Dikdörtgen ABCD’de:
- A noktası üst sol köşe,
- D noktası üst sağ köşe,
- C noktası alt sağ köşe,
- B noktası alt sol köşe.
Koordinat sistemi alalım:
- A = (0, 10) (yukarıda, AD=10),
- D = (8, 10) (sağda, DC=8),
- C = (8, 0),
- B = (0, 0).
Adım 3: Noktaların koordinatlarını bulalım
- E noktası DC kenarında, DE=2 cm olduğuna göre, E = (8 - 2, 10) = (6, 10),
- H noktası BC kenarında, HC=4 cm olduğuna göre, H = (8, 4),
- F noktası AH doğrusu üzerinde ve EF \perp AH.
Adım 4: Doğruların denklemlerini yazalım
- AH doğrusunun denklemi:
A = (0,10), H = (8,4)
Eğim:
m_{AH} = \frac{4 - 10}{8 - 0} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}
Doğru denklemi:
y - 10 = -\frac{3}{4}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{3}{4} x + 10
Adım 5: EF \perp AH olduğuna göre, EF doğrusunun eğimi
EF doğrusunun eğimi, AH doğrusunun eğiminin negatif tersi ve çarpanı olmalı:
m_{EF} = \frac{4}{3}
Adım 6: E noktası (6,10) ve F noktası AH üzerinde
F noktası AH üzerinde, yani y_F = -\frac{3}{4} x_F + 10.
EF doğrusunun eğimi:
m_{EF} = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{y_F - 10}{x_F - 6} = \frac{4}{3}
Adım 7: Denklemleri çözelim
Yerine koyarsak:
\frac{y_F - 10}{x_F - 6} = \frac{4}{3}
Ama y_F = -\frac{3}{4} x_F + 10 olduğundan,
\frac{-\frac{3}{4} x_F + 10 - 10}{x_F - 6} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{-\frac{3}{4} x_F}{x_F - 6} = \frac{4}{3}
Çarpalım:
-\frac{3}{4} x_F = \frac{4}{3} (x_F - 6)
Her iki tarafı 12 ile çarparak paydalardan kurtulalım:
-9 x_F = 16 (x_F - 6)
Açalım:
-9 x_F = 16 x_F - 96
Tarafları toplayalım:
-9 x_F - 16 x_F = -96 \Rightarrow -25 x_F = -96 \Rightarrow x_F = \frac{96}{25} = 3.84
Adım 8: y_F değerini bulalım
y_F = -\frac{3}{4} \times 3.84 + 10 = -2.88 + 10 = 7.12
Adım 9: EF uzunluğunu hesaplayalım
E = (6, 10), \quad F = (3.84, 7.12)
Mesafe formülü:
EF = \sqrt{(6 - 3.84)^2 + (10 - 7.12)^2} = \sqrt{(2.16)^2 + (2.88)^2} = \sqrt{4.6656 + 8.2944} = \sqrt{12.96} = 3.6
Adım 10: Sonuç
Soruda EF = x cm olarak verilmiş ve seçeneklerde 3.6 yok. Burada bir hata olabilir. Ancak verilen seçeneklerde en yakın değer 4.8.
Fakat verilen diğer uzunluklar ve hesaplamalar doğruysa, EF = 3.6 cm çıkar.
Özet Tablosu
| Bilgi | Değer (cm) |
|---|---|
| AD | 10 |
| DE | 2 |
| EC | 6 |
| HC | 4 |
| EF (hesaplanan) | 3.6 |
Not: Sorunun orijinalinde verilen değerler ve şekil tam net olmadığı için, hesaplamalar yukarıdaki varsayımlara göre yapılmıştır. Eğer şekil veya verilenler farklıysa, lütfen belirtiniz.
Eğer diğer sorunun çözümünü isterseniz, yardımcı olmaya hazırım.
Soru:
ABCD dikdörtgeninde, (EF) ⟂ (AH), AD = 10\ \mathrm{cm}, DE = 2\ \mathrm{cm}, EC = 6\ \mathrm{cm} ve $HC = 4\ \mathrm{cm}$’dir.
Yukarıdaki verilere göre, EF = x kaç cm’dir?
İçindekiler
- Soru İncelemesi
- Köşe Noktalarının Koordinatları
- Doğrunun Denklemine Ulaşma
- Noktadan Doğruya Uzaklık Formülü
- Hesaplama Adımları
- Sonuç ve Yanıt Seçeneği
- Özet Tablosu
1. Soru İncelemesi
- ABCD dikdörtgenidir.
- Üst kenar AD = 10\ \mathrm{cm}, sağ dik kenar DC üzerindeki D\!E = 2\ \mathrm{cm}, E\!C = 6\ \mathrm{cm} ve alt kenar BC üzerindeki H\!C = 4\ \mathrm{cm}.
- E noktası DC kenarında, H noktası BC kenarında yer alır.
- Doğru parçası EF, AH doğrultusuna dik olarak çizilmiştir.
- İstenen: EF uzunluğu
Bu tür problemlerde en sistematik yol, koordinat yöntemi ile ilerlemek ve noktadan doğruya uzaklık formülünü kullanmaktır.
2. Köşe Noktalarının Koordinatları
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyip, köşe noktalarını şu şekilde yerleştirelim:
- A=\bigl(0,\,8\bigr)
- B=\bigl(0,\,0\bigr)
- C=\bigl(10,\,0\bigr)
- D=\bigl(10,\,8\bigr)
Burada dikdörtgenin yükseklik AB = DC = 8\ \mathrm{cm}, taban uzunluğu BC = AD = 10\ \mathrm{cm} olarak sabittir.
- E noktası: $D(10,8)$’den 2\ \mathrm{cm} aşağıda, yani E=\bigl(10,\,8-2\bigr)=(10,6).
- H noktası: $C(10,0)$’den 4\ \mathrm{cm} sola kaymış, yani H=\bigl(10-4,\,0\bigr)=(6,0).
3. Doğrunun Denklemine Ulaşma
Perakende olarak A(0,8) ve H(6,0) noktalarından geçen doğru $AH$’nın denklemi:
- İki nokta eğim formülü:
m_{AH}=\frac{y_H-y_A}{x_H-x_A}=\frac{0-8}{6-0}=-\frac{8}{6}=-\tfrac{4}{3} - Nokta-eğim formunda denklem:
y - 8 = -\tfrac{4}{3}(x - 0)\quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{4}{3}x +8 - Standard formata çevirirsek (paydadan kurtulmak için 3 ile çarparız):
3y = -4x +24 \quad\Longrightarrow\quad 4x + 3y -24=0
4. Noktadan Doğruya Uzaklık Formülü
Düzlemde bir ax+by+c=0 biçimindeki doğruya (x_0,y_0) noktasından çizilen dikmenin (uzaklık) uzunluğu:
d = \frac{\bigl|a\,x_0 + b\,y_0 + c\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
5. Hesaplama Adımları
- Doğru denklemi: 4x + 3y -24=0
- Düşülen nokta: E(10,6)
- Formülde yerine koyma:
EF = d(E,\;AH) = \frac{\bigl|4\cdot10 + 3\cdot6 -24\bigr|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{\bigl|40 +18 -24\bigr|}{5} = \frac{34}{5} = 6{,}8\ \mathrm{cm}
Sonuç: EF = 6{,}8\ \mathrm{cm}
6. Sonuç ve Yanıt Seçeneği
Doğru cevap B) 6,8 seçeneğidir.
7. Özet Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Dikdörtgen Ölçüleri | Taban $=10,cm, Yükseklik =8,$cm | – |
| Nokta Koordinatları | E=(10,6), A=(0,8), H=(6,0) | – |
| AH Doğru Denklemi (Standard) | 4x + 3y -24=0 | – |
| Uzaklık Formülü | $d=\frac{ | ax_0+by_0+c |
| Hesaplama | $\dfrac{ | 4\cdot10 +3\cdot6 -24 |
| Cevap | B şıkkı: 6,8 |  |
Özet:
Koordinat yöntemi ve nokta–doğru uzaklık formülü kullanılarak, dikdörtgen üzerinde verilen ölçülerden E noktasının AH doğrusuna olan dik uzaklığı 6{,}8\ \mathrm{cm} olarak bulunur.