\frac{9! - 2 \cdot 8!}{7! + 6! + 5!} işleminin sonucu kaçtır?
A) 24
B) 36
C) 48
D) 56
E) 64
Faktöriyel Sadeleştirme ve Paranteze Alma İşlemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Faktöriyelli kesirli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken, terimler en küçük faktöriyelli terim cinsinden açılarak (n! = n \cdot (n-1)!) ortak çarpan parantezine alınır ve sadeleştirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Pay İfadesini Düzenleme
Pay kısmında yer alan 9! ifadesini 8! cinsinden yazıp 8! parantezine alalım:
9! - 2 \cdot 8! = 9 \cdot 8! - 2 \cdot 8! = 8! \cdot (9 - 2) = 7 \cdot 8!
Adım 2 — Payda İfadesini Düzenleme
Paydadaki en küçük faktöriyel 5! olduğu için tüm terimleri 5! parantezine alalım:
7! + 6! + 5! = (7 \cdot 6 \cdot 5!) + (6 \cdot 5!) + 5!
= 5! \cdot (42 + 6 + 1) = 49 \cdot 5!
Adım 3 — İfadeleri Oranlama ve Sadeleştirme
Elde ettiğimiz pay ve payda değerlerini oranlayıp 8! ifadesini 5!'e kadar açarak sadeleştirelim:
\frac{7 \cdot 8!}{49 \cdot 5!} = \frac{8!}{7 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 8 \cdot 6 = 48
CEVAP: C) 48
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Faktöriyel sorularında büyük sayıların değerini tek tek hesaplamak yerine ortak çarpan parantezine almak işlem hatasını önler ve zaman kazandırır. Paydadaki 42 + 6 + 1 = 49 değerinin 7^2 olduğuna dikkat edilirse paydaki 7 çarpanı ile doğrudan sadeleştiği kolayca görülür.