Soru:
ABG ve CDE dik
üçgen
(AB) (c]
(BC] (COD)
|ACJ L (DE)
|AB|6cm
|CD| 12 cm
ICF|-6 cm
Yukarnda verilenlere qgore, |AF| * kaç cn di?
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
ABG ve CDE dik üçgenlerine göre |AF| uzunluğu kaç cm’dir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Dik üçgenlerde diklik ve benzerlik özellikleri kullanılır.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar oranlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilenleri incele
- AB ⟂ BC ve CD ⟂ BC olduğuna göre, ABC ve CDE dik üçgenlerdir.
- |AB| = 6 cm, |CD| = 12 cm, |CF| = 6 cm verilmiş.
- Üçgenler arasındaki diklikler ve verilen uzunluklar yardımıyla benzerlik incelenmeli.
Adım 2 — Benzer üçgenleri belirle
- ABC ve CDE dik üçgenleri AC ⟂ DE olduğundan, üçgenler benzer olabilir.
- ACJ ∥ DE bilgisi yok ama grafikte AC dik DE’ye.
Adım 3 — Benzer üçgen oranlarını yaz
-
ABG ile CDE dik üçgenlerinde kenar oranları:
\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} -
Eğer AF isteniyorsa, çizgideki benzerlik ve uzunluk oranlarını kullanmalıyız.
Adım 4 — AF uzunluğunu bul
-
Verilen CF = 6 cm ve CD = 12 cm olduğuna göre:
CF = \frac{1}{2} CD -
Benzerlik oranlarını faydalanarak, AF de aynı oranda olmalıdır:
\frac{|AF|}{|CF|} = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{1}{2} \implies |AF| = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ cm}
CEVAP: |AF| = 3 cm
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Yukarıda verilenlere göre, |AF| = x kaç cm’dir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Koordinat yöntemi ve iki doğrunun dik olması için eğimlerinin çarpımının -1 olması: \;m_1\cdot m_2=-1.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinatları kur ve AC üzerindeki F noktası için parametreyi tanımla
Aşağıdaki koordinatları alalım:
B=(0,0)
C=(c,0)
A=(0,6)
D=(c,12)
AC doğrusu üzerindeki F noktası, C’den A’ya doğru uzaklık oranı t ile ifade edilsin; CF=6 olduğuna göre:
|AC|=\sqrt{c^{2}+36}
t=\frac{CF}{|AC|}=\frac{6}{\sqrt{c^{2}+36}}
AC doğrusu üzerindeki F koordinatları:
x_{F}=c(1-t)
y_{F}=6t
Adım 2 — AC ve DE doğrularının eğimlerini yaz ve diklik koşulunu kullan
AC eğimi:
m_{AC}=\frac{6-0}{0-c}=\frac{6}{-c}=-\frac{6}{c}
DE doğrusu için eğimi m_{DE} olsun. Dik olma koşulundan:
m_{AC}\cdot m_{DE}=-1
-\frac{6}{c}\cdot m_{DE}=-1
m_{DE}=\frac{c}{6}
Adım 3 — DE doğrusunun denklemine F noktasını koy ve t için denklem kur
DE doğrusunun noktadan eğim formülü (D noktası kullanılarak):
y-12=\frac{c}{6}(x-c)
Bu denkleme F(x_{F},y_{F}) koordinatlarını koy:
6t-12=\frac{c}{6}\bigl(c(1-t)-c\bigr)
Sağ tarafı sadeleştir:
6t-12=\frac{c}{6}\bigl(-c t\bigr)
6t-12=-\frac{c^{2}t}{6}
Her iki tarafı 6 ile çarp:
36t-72=-c^{2}t
Terimleri topla:
36t+c^{2}t=72
t(36+c^{2})=72
Böylece:
t=\frac{72}{c^{2}+36}
Adım 4 — İki ifade için t’yi eşitle ve c’yi bul
Adım 1’de bulunan t:
t=\frac{6}{\sqrt{c^{2}+36}}
Adım 3’te bulunan t:
t=\frac{72}{c^{2}+36}
Eşitle:
\frac{6}{\sqrt{c^{2}+36}}=\frac{72}{c^{2}+36}
Her iki tarafı 6 ile sadeleştir:
\frac{1}{\sqrt{c^{2}+36}}=\frac{12}{c^{2}+36}
İnvers al veya çapraz çarp:
c^{2}+36=12\sqrt{c^{2}+36}
\bigl(\sqrt{c^{2}+36}\bigr)^{2}=12\sqrt{c^{2}+36}
\sqrt{c^{2}+36}\bigl(\sqrt{c^{2}+36}-12\bigr)=0
Pozitif kök:
\sqrt{c^{2}+36}=12
Karesini al:
c^{2}+36=144
c^{2}=108
Böylece:
|AC|=\sqrt{c^{2}+36}=12
Adım 5 — AF uzunluğunu bul
AC uzunluğu 12 cm ise ve CF=6 cm olduğuna göre:
AF=|AC|-CF
AF=12-6
AF=6\ \text{cm}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
CEVAP: |AF| = 6 cm