ABD üçgen, m(widehat{ADC}) = 45^irc , |AD| = 8\sqrt{2} cm, |CD| = 2 cm, |BC| = 21 cm
Yukarıdaki verilere göre, |AB| + |AC| toplamı kaç cm’dir?
ABD Üçgeninde |AB| + |AC| Toplamının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgen Kuralı: Hipotenüs a\sqrt{2} ise dik kenarlar a birimdir.
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende a^2 + b^2 = c^2 bağıntısı geçerlidir (Özel üçgenler: 6 - 8 - 10 ve 8 - 15 - 17).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Köşesinden Taban Doğrusuna Dikme İndirme
A noktasından [BD] tabanına bir dikme indirelim ve dikmenin ayağına H noktası diyelim ([AH] \perp [BD]).
Adım 2 — AHD İkizkenar Dik Üçgenini Çözme
AHD üçgeninde m(\widehat{AHD}) = 90^\circ ve m(\widehat{ADH}) = 45^\circ olduğundan bu üçgen bir 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ ikizkenar dik üçgenidir:
|AD| = 8\sqrt{2}\text{ cm} \implies |AH| = |HD| = 8\text{ cm}
Adım 3 — |HC| Uzunluğunu Bulma
H, C ve D noktaları aynı doğru üzerindedir. |HD| = 8\text{ cm} ve |CD| = 2\text{ cm} verildiğinden:
|HC| = |HD| - |CD| = 8 - 2 = 6\text{ cm}
Adım 4 — |AC| Uzunluğunu Hesaplama (AHC Dik Üçgeni)
AHC dik üçgeninde dik kenarlar |AH| = 8\text{ cm} ve |HC| = 6\text{ cm}'dir (6 - 8 - 10 özel üçgeni):
|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2
|AC|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies |AC| = 10\text{ cm}
Adım 5 — |BH| ve |AB| Uzunluklarını Hesaplama (AHB Dik Üçgeni)
|BC| = 21\text{ cm} olarak verilmiştir. H noktası [BC] üzerinde yer aldığından:
|BH| = |BC| - |HC| = 21 - 6 = 15\text{ cm}
AHB dik üçgeninde dik kenarlar |AH| = 8\text{ cm} ve |BH| = 15\text{ cm}'dir (8 - 15 - 17 özel üçgeni):
|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2
|AB|^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \implies |AB| = 17\text{ cm}
Adım 6 — İstenen Toplamı Hesaplama
|AB| + |AC| = 17\text{ cm} + 10\text{ cm} = 27\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: |AB| + |AC| = 27\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Özel Dik Üçgenler
- Tanım: Kenar uzunlukları tam sayı olan veya açılarına göre kenarları arasında sabit oranlar (45^\circ-45^\circ-90^\circ, 30^\circ-60^\circ-90^\circ) bulunan üçgenlerdir.
- Bu problemde: AHD üçgeninde 45^\circ-45^\circ-90^\circ, AHC üçgeninde 6-8-10 (3-4-5’in 2 katı) ve AHB üçgeninde 8-15-17 özel dik üçgenleri kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dikme Ayağının (H) Konumunu Yanlış Belirlemek
- Yanlış: H noktasını C noktasının sağında veya üçgenin tamamen dışında varsaymak.
- Doğru: |HD| = 8\text{ cm} ve |CD| = 2\text{ cm} olduğundan C noktası H ile D arasındadır ve |HC| = 6\text{ cm} olur.
- Neden yanlış: Dikmenin tabandaki izdüşümünü hatalı çizmek, kenar uzunluklarının yanlış toplanıp çıkarılmasına yol açar.
Benzer bir özel açılı üçgen sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
ABD Üçgeninde |AB| + |AC| Toplamının Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgen Kuralı: Hipotenüs a\sqrt{2} ise dik kenarlar a birimdir.
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende a^2 + b^2 = c^2 bağıntısı geçerlidir (Özel üçgenler: 6 - 8 - 10 ve 8 - 15 - 17).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A Köşesinden Taban Doğrusuna Dikme İndirme
A noktasından [BD] tabanına bir dikme indirelim ve dikmenin ayağına H noktası diyelim ([AH] \perp [BD]).
Adım 2 — AHD İkizkenar Dik Üçgenini Çözme
AHD üçgeninde m(\widehat{AHD}) = 90^\circ ve m(\widehat{ADH}) = 45^\circ olduğundan bu üçgen bir 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ ikizkenar dik üçgenidir:
|AD| = 8\sqrt{2}\text{ cm} \implies |AH| = |HD| = 8\text{ cm}
Adım 3 — |HC| Uzunluğunu Bulma
H, C ve D noktaları aynı doğru üzerindedir. |HD| = 8\text{ cm} ve |CD| = 2\text{ cm} verildiğinden:
|HC| = |HD| - |CD| = 8 - 2 = 6\text{ cm}
Adım 4 — |AC| Uzunluğunu Hesaplama (AHC Dik Üçgeni)
AHC dik üçgeninde dik kenarlar |AH| = 8\text{ cm} ve |HC| = 6\text{ cm}'dir (6 - 8 - 10 özel üçgeni):
|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2
|AC|^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies |AC| = 10\text{ cm}
Adım 5 — |BH| ve |AB| Uzunluklarını Hesaplama (AHB Dik Üçgeni)
|BC| = 21\text{ cm} olarak verilmiştir. H noktası [BC] üzerinde yer aldığından:
|BH| = |BC| - |HC| = 21 - 6 = 15\text{ cm}
AHB dik üçgeninde dik kenarlar |AH| = 8\text{ cm} ve |BH| = 15\text{ cm}'dir (8 - 15 - 17 özel üçgeni):
|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2
|AB|^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \implies |AB| = 17\text{ cm}
Adım 6 — İstenen Toplamı Hesaplama
|AB| + |AC| = 17\text{ cm} + 10\text{ cm} = 27\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: |AB| + |AC| = 27\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Özel Dik Üçgenler
- Tanım: Kenar uzunlukları tam sayı olan veya açılarına göre kenarları arasında sabit oranlar (45^\circ-45^\circ-90^\circ, 30^\circ-60^\circ-90^\circ) bulunan üçgenlerdir.
- Bu problemde: AHD üçgeninde 45^\circ-45^\circ-90^\circ, AHC üçgeninde 6-8-10 (3-4-5’in 2 katı) ve AHB üçgeninde 8-15-17 özel dik üçgenleri kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dikme Ayağının (H) Konumunu Yanlış Belirlemek
- Yanlış: H noktasını C noktasının sağında veya üçgenin tamamen dışında varsaymak.
- Doğru: |HD| = 8\text{ cm} ve |CD| = 2\text{ cm} olduğundan C noktası H ile D arasındadır ve |HC| = 6\text{ cm} olur.
- Neden yanlış: Dikmenin tabandaki izdüşümünü hatalı çizmek, kenar uzunluklarının yanlış toplanıp çıkarılmasına yol açar.
Benzer bir özel açılı üçgen sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?