ABD üçgen, B, A, E doğrusal, m(widehat{DAC}) = m(widehat{DAE})
|AB| = |DC|, |AC| = 3 cm, |BC| = 6 cm
olduğuna göre, |AD| kaç cm dir?
A) 2\sqrt{6}
B) 2\sqrt{11}
C) 3\sqrt{6}
D) 6\sqrt{2}
E) 3\sqrt{10}
Dış Açıortay Teoremi ve Uzunluk Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende bir köşeye ait dış açıortayın karşı kenarın uzantısını kestiği nokta için Dış Açıortay Teoremi \frac{|DC|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|AB|} uygulanır. Dış açıortay uzunluğu ise |AD|^2 = |DB| \cdot |DC| - |AB| \cdot |AC| formülüyle hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilenleri Tanımlama ve Dış Açıortayı Belirleme
B, A, E noktaları doğrusal olduğundan [AE, BA kenarının uzantısıdır. m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DAE}) eşitliği, [AD] ışınının ABC üçgeninde A köşesine ait dış açıortay olduğunu gösterir.
- |AC| = 3\text{ cm}
- |BC| = 6\text{ cm}
- |AB| = |DC| = x olsun. Buradan |DB| = |DC| + |BC| = x + 6 olur.
Adım 2 — Dış Açıortay Teoremi ile Kenar Uzunluğunu Bulma
ABC üçgeninde dış açıortay oranını kuralım:
\frac{|DC|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|AB|} \implies \frac{x}{x + 6} = \frac{3}{x}
İçler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi çözelim:
x^2 = 3(x + 6)
x^2 - 3x - 18 = 0
(x - 6)(x + 3) = 0
Uzunluk negatif olamayacağından x = 6\text{ cm} bulunur. Dolayısıyla |AB| = 6\text{ cm}, |DC| = 6\text{ cm} ve |DB| = 6 + 6 = 12\text{ cm} olur.
Adım 3 — Dış Açıortay Uzunluğunu (|AD|) Hesaplama
Dış açıortay uzunluk bağıntısını uygulayalım:
|AD|^2 = |DB| \cdot |DC| - |AB| \cdot |AC|
|AD|^2 = 12 \cdot 6 - 6 \cdot 3
|AD|^2 = 72 - 18 = 54
|AD| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\text{ cm}
CEVAP: C) 3\sqrt{6} (|AD| = 3\sqrt{6}\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dış açıortay uzunluk formülü unutulduğunda, ABC üçgeninde Kosinüs Teoremi ile \cos(\widehat{ACB}) bulunup bütünleri olan \widehat{ACD} açısı üzerinden ACD üçgeninde tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak da aynı sonuca doğrudan ulaşılabilir.