ABCDE düzgün
beşgen
a=?
A) 45
B) 50
C) 55
D) 60
E) 75
ABCDE Düzgün Beşgeninde \alpha Açısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE BİLGİLER:
- Düzgün Beşgenin İç Açısı: \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = 108^\circ
- İkizkenar Üçgen Özelliği: Eşit kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir.
- Üçgenin İç Açılar Toplamı: 180^\circ
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Düzgün Beşgenin Temel Özelliklerini Belirleme
ABCDE düzgün bir beşgen olduğu için tüm kenar uzunlukları eşittir (|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EA|). Her bir iç açısı 108^\circ’dir.
Adım 2 — ABC İkizkenar Üçgenini Analiz Etme
|AB| = |BC| olduğu için ABC üçgesi bir ikizkenar üçgendir. Tepe açısı m(\widehat{B}) = 108^\circ olduğuna göre taban açıları:
m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ olur.
Adım 3 — ACD Üçgenini ve Köşegenleri Analiz Etme
Düzgün beşgende bir köşeden çıkan köşegenler iç açıyı böler. m(\widehat{BCD}) = 108^\circ olduğundan ve m(\widehat{BCA}) = 36^\circ bulduğumuzdan;
m(\widehat{ACD}) = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ kalır.
Beşgenin simetrisinden dolayı |AC| = |AD| (köşegenler eşittir). Bu durumda ACD üçgeni de ikizkenardır. m(\widehat{ACD}) = 72^\circ ise m(\widehat{ADC}) = 72^\circ ve tepe açısı m(\widehat{CAD}) = 180^\circ - (72^\circ + 72^\circ) = 36^\circ olur.
Adım 4 — ADF Üçgenini İnceleme
Soruda verilen görselde |AC| kenarı ile |AF| kenarının eşit olduğu işaretlenmiştir (|AC| = |AF|).
Az önce |AC| = |AD| olduğunu bulmuştuk. Bu durumda |AD| = |AF| olur, yani ADF üçgesi bir ikizkenar üçgendir.
Adım 5 — ADF Üçgeninin Tepe Açısını ve \alpha Değerini Hesaplama
Şekle göre m(\widehat{EAF}) = 24^\circ olarak verilmiştir.
m(\widehat{BAE}) = 108^\circ ve m(\widehat{BAC}) = 36^\circ, m(\widehat{CAD}) = 36^\circ olduğundan:
m(\widehat{DAE}) = 108^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 36^\circ kalır.
ADF üçgeninin toplam tepe açısı m(\widehat{DAF}) = m(\widehat{DAE}) + m(\widehat{EAF}) = 36^\circ + 24^\circ = 60^\circ olur.
Adım 6 — Sonuca Ulaşma
ADF ikizkenar üçgeninde tepe açısı 60^\circ ise, bu üçgen aslında bir eşkenar üçgendir (çünkü taban açıları \frac{180-60}{2} = 60^\circ olur).
Bu durumda \alpha = m(\widehat{AFD}) = 60^\circ olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Düzgün Beşgen
- Tanım: Tüm kenarları ve iç açıları eşit olan çokgen.
- Bu problemde: Köşegenlerin birbirine eşit olması ve iç açının 108^\circ olması kullanılmıştır.
2. İkizkenar Üçgen
- Tanım: İki kenarı eşit olan üçgen.
- Bu problemde: |AD| = |AF| eşitliği üzerinden \alpha açısına geçiş yapılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Köşegen Eşitliğini Unutmak
- Yanlış: |AC| ile |AD|'nin eşit olduğunu fark etmeden çözüme çalışmak.
- Doğru: Düzgün beşgende aynı köşeden çıkan veya aynı sayıda kenarı gören tüm köşegenler eşittir.
- Neden yanlış: Bu bilgi eksik olduğunda ADF üçgeninin ikizkenar olduğu kanıtlanamaz.
Bu tür geometrik şekillerde farklı köşegenler çizerek yeni ikizkenar üçgenler türetmemi ister misin?