ABCD paralelkenarında [DF] ap [CE] = \{K\} olmak üzere E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.
|KF| = 2 cm olduğuna göre |DK| = x kaç cm’dir?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
Paralelkenarda Benzerlik ve Uzunluk Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kelebek (Kum Saati) Benzerliği: Birbirine paralel iki doğru parçası arasında oluşan üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır:\frac{|DK|}{|KP|} = \frac{|DC|}{|PE|}
- Eş Üçgenler Kuralı: Açı-Kenar-Açı (A.K.A) benzerliğinde eşleşen kenar uzunlukları eşitse üçgenler eştir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dışarıdan Doğruları Uzatarak Eş Üçgen Oluşturma
[DF] doğru parçasını uzatalım ve [AB] kenarının B yönündeki uzantısıyla kesiştirelim. Bu kesişim noktasına P diyelim.
- ABCD paralelkenar olduğundan DC \parallel AB (dolayısıyla DC \parallel PB).
- İç ters açılardan \widehat{CDF} = \widehat{BPF} ve \widehat{DCF} = \widehat{PBF} olur.
- F noktası [BC] kenarının orta noktası olduğundan |CF| = |FB|'dir.
Açı-Kenar-Açı kuralı gereğince:
\triangle DCF \cong \triangle PBF \text{ (Eş üçgenler)}
Bu eşlikten:
|PB| = |DC| \quad \text{ve} \quad |PF| = |DF|
Adım 2 — Kenar Uzunluklarını Belirleme
Paralelkenarın kenar uzunluklarına değer verelim:
- E noktası [AB]'nin orta noktası olduğundan |AE| = |EB| = a dersek, |AB| = |DC| = 2a olur.
-
- adımdaki eşlikten |PB| = |DC| = 2a bulunur.
- P, B, E noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan:
|PE| = |PB| + |BE| = 2a + a = 3a
- Ayrıca |DF| = |DK| + |KF| = x + 2 olduğundan:
|PF| = |DF| = x + 2
|KP| = |KF| + |FP| = 2 + (x + 2) = x + 4
Adım 3 — Kelebek Benzerliği ile x Değerini Bulma
DC \parallel PE olduğundan \triangle KDC \sim \triangle KPE (kelebek benzerliği) bağıntısını kuralım:
\frac{|DK|}{|KP|} = \frac{|DC|}{|PE|}
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
\frac{x}{x + 4} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}
İçler dışlar çarpımı yapalım:
3x = 2(x + 4)
3x = 2x + 8
x = 8\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kelebek Benzerliği: Paralel iki kenar arasında kalan çapraz doğruların oluşturduğu üçgenlerde benzerlik oranı, tabanların birbirine oranına eşittir.
- Orta Nokta: Bir doğru parçasını iki eşit uzunluğa bölen noktadır. Bu tür sorularda dışarı uzatma yapılarak sıklıkla eş üçgenler elde edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: K noktasını paralelkenarın ağırlık merkezi veya köşegen kesim noktası gibi düşünüp doğrudan 1:2 oranı vermek.- Doğru Yaklaşım: Şekil içinde doğrudan benzerlik görünmüyorsa kenarları uzatarak kelebek (kum saati) benzerliği veya Menelaus teoremi oluşturmak.
Benzer bir geometri sorusuyla pratik yapmak ister misin?