ABCD paralelkenar

Question Answer
1

ABCD paralelkenar
[DE] ve [CE] açıortay
[EF] \perp [AB]
|FA| = 7 cm
|FB| = 3 cm
|BC| = 9 cm
Buna göre |EF| = x kaç cm’dir?

ABCD paralelkenar ve açıortay Buna göre
ABCD paralelkenar ve açıortay Buna göre1024×768 57.1 KB

2

ABCD Paralelkenarında |EF| = x Uzunluğunun Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  1. Açıortay ve Paralellik (Z Kuralı): Paralelkenarda komşu iki açının açıortayları birbirine dik kesişir (m(\widehat{DEC}) = 90^\circ) ve orta taban üzerinde ikizkenar üçgenler oluşturur.
  2. Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende a^2 + b^2 = c^2
  3. Özel Dik Üçgen (30^\circ - 60^\circ - 90^\circ): Hipotenüsün yarısı olan dik kenarın karşısındaki açı 30^\circ, diğer dik kenar ise bu kenarın \sqrt{3} katıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Paralelkenarın Kenar Uzunluklarını Belirleme
Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:

  • |AB| = |FA| + |FB| = 7 + 3 = 10\text{ cm} \implies |DC| = 10\text{ cm}
  • |AD| = |BC| = 9\text{ cm}

Adım 2 — E Noktasından Geçen Paralel Doğruyu Çizme
E noktasından [AB] ve [DC] kenarlarına paralel olacak şekilde [AD]'yi K, [BC]'yi L noktasında kesen [KL] doğru parçasını çizelim ([KL] \parallel [AB] \parallel [DC]).

  • [DE] açıortay olduğundan iç ters açılardan (Z kuralı): m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{DEK}) \implies |DK| = |KE|
  • [CE] açıortay olduğundan iç ters açılardan: m(\widehat{BCE}) = m(\widehat{ECD}) = m(\widehat{CEL}) \implies |CL| = |LE|

Adım 3 — Parça Uzunluklarını Hesaplama
[KL] \parallel [AB] olduğundan |KL| = |AB| = 10\text{ cm}'dir.

  • |DK| = |CL| olduğundan |KE| = |LE| = 5\text{ cm} bulunur.
  • Buradan |DK| = |KE| = 5\text{ cm} olur.
  • |AD| = 9\text{ cm} olduğundan, |KA| = |AD| - |DK| = 9 - 5 = 4\text{ cm} elde edilir.

Adım 4 — Dik İzdüşüm ve Pisagor Bağıntısı ile x Değerini Bulma
K noktasından [AB] tabanına bir dikme indirelim ve dikme ayağına K' diyelim:

  • [KK'] \perp [AB] olduğundan |KK'| = |EF| = x’tir.
  • [KL] \parallel [AB] ve |KE| = 5\text{ cm} olduğu için, E noktasının izdüşümü olan F ile K noktasının izdüşümü olan K' arasındaki mesafe |K'F| = |KE| = 5\text{ cm} olur.
  • |AF| = 7\text{ cm} olarak verildiğinden:
    |AK'| = |AF| - |K'F| = 7 - 5 = 2\text{ cm}

AKK' dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulandığında:

|AK'|^2 + |KK'|^2 = |AK|^2
2^2 + x^2 = 4^2
4 + x^2 = 16
x^2 = 12
x = 2\sqrt{3}\text{ cm}

(Ayrıca |AK'| = 2\text{ cm} ve |AK| = 4\text{ cm} olduğundan AKK' üçgeni 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgenidir ve x = 2\sqrt{3}\text{ cm} doğrudan görülür.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: x = 2\sqrt{3}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Açıortay ve Paralellik İlişkisi

  • Tanım: Paralel iki doğru arasında kalan açıortaylar, paralel bir doğru ile kesildiğinde ikizkenar üçgenler meydana getirir.
  • Bu problemde: E noktasından çizilen paralel doğru sayesinde |DK|=|KE|=5\text{ cm} eşitliği kurulmuş ve |KA|=4\text{ cm} bulunmuştur.

2. Dik İzdüşüm Yardımıyla Çözüm

  • Tanım: Bir doğru parçası üzerindeki noktaların bir tabana olan dik izdüşümleri arasındaki mesafe korunur.
  • Bu problemde: K ve E noktalarının [AB] üzerindeki izdüşümleri arasındaki 5\text{ cm}'lik fark kullanılarak dik üçgenin dik kenarı 2\text{ cm} olarak belirlenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Açıortayların Kesişimini Yanlış Yorumlamak

  • Yanlış: E noktasını doğrudan paralelkenarın orta tabanının tam ortası kabul edip |AK| = |KD| = 4{,}5\text{ cm} almak.
  • Doğru: |DK| = |KE| ve |CL| = |LE| eşitliklerinden dolayı kenar oranlarını |KL| = 10\text{ cm} toplam uzunluğundan adım adım hesaplamak.
  • Neden yanlış: Paralelkenarın kenar uzunlukları (9\text{ cm} ve 10\text{ cm}) eşit olmadığı için E noktası kenarları 4{,}5 - 4{,}5 şeklinde değil, 5 ve 4\text{ cm} olarak böler.

Benzer bir açıortay ve paralelkenar sorusu daha çözerek pekiştirmek ister misin?