ABCD paralelkenar
DEFG paralelkenar
EE [DC], DE(AGI
|EC| = |EF|
|AD| = 6 birim
|DG| = 2 birim
|DE| = X
Şekildeki ABCD paralelkenarının alanı, DEFG paralelkenainin
alanınin 5 katına eşittir.
Buna göre x kaç birimdir?
A) 4,5
B) 4
C) 3,5
3
X
D) 3
E) 2,5
GENEL YETENEK TESTİ BİTT.
Paralelkenarda Alan Bağıntısı ve Kenar Uzunluğu Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki kenarı a ve b, bu kenarlar arasındaki açısı \alpha olan bir paralelkenarın alanı:\text{Alan} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)
- Bütünler açıların sinüs değerleri eşittir:\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bilinen Kenar Uzunluklarını Belirleme
- DEFG bir paralelkenar olduğundan karşılıklı kenarlar birbirine eşittir:|EF| = |DG| = 2\text{ birim}
- Soruda |EC| = |EF| verildiğinden:|EC| = 2\text{ birim}
- E \in [DC] olduğundan ABCD paralelkenarının taban kenarı:|DC| = |DE| + |EC| = x + 2\text{ birim}
Adım 2 — Açı Bağıntısını Kurma
- D \in [AG] olduğundan A, D ve G noktaları doğrusaldır.
- Bu doğrusal hat üzerinde \angle GDE ile \angle ADC komşu bütünler açılardır:\angle ADC + \angle GDE = 180^\circ \implies \sin(\angle ADC) = \sin(\angle GDE)
Adım 3 — Alan Formüllerini Oranlama ve Denklemi Çözme
- Her iki paralelkenarın alanını kenarları ve aralarındaki açının sinüsü cinsinden yazalım:\text{Alan}(DEFG) = |DG| \cdot |DE| \cdot \sin(\angle GDE) = 2 \cdot x \cdot \sin(\angle GDE)\text{Alan}(ABCD) = |AD| \cdot |DC| \cdot \sin(\angle ADC) = 6 \cdot (x + 2) \cdot \sin(\angle ADC)
- \text{Alan}(ABCD) = 5 \cdot \text{Alan}(DEFG) eşitliği verildiğinden:6 \cdot (x + 2) \cdot \sin(\angle ADC) = 5 \cdot \left[2 \cdot x \cdot \sin(\angle GDE)\right]
- \sin(\angle ADC) = \sin(\angle GDE) olduğundan sinüs terimleri sadeleşir:6(x + 2) = 10x6x + 12 = 10x4x = 12 \implies x = 3\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D seçeneği — 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Paralelkenarda Sinüslü Alan: Bir paralelkenarın alanı, ardışık iki kenarının uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
- Bütünler Açılar: Bir doğru üzerinde oluşan ve birbirini 180^\circ’ye tamamlayan açıların sinüs değerleri birbirine eşittir; bu durum ortak açılı geometrik oran sorularında sadeleşme kolaylığı sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Paralelkenarların yüksekliklerini bilmeden alan oranının sadece kenar oranına eşit olduğunu varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Yükseklik bilinmiyorsa kenarlar ve açılar üzerinden sinüslü alan formülünü uygulayarak doğrusal açıların eşit sinüs değerlerinden yararlanmak.
Bu soruya benzer bir alan-oran sorusu daha çözerek pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai sinüs förmulu yazmadan
Paralelkenarda Yükseklik ve Benzerlik ile Çözüm
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir paralelkenarın alanı:\text{Alan} = \text{Taban} \times \text{Yükseklik}
- Doğrusal bir doğru parçası üzerindeki noktalardan bir doğruya indirilen dikmeler benzer dik üçgenler oluşturur (Kelebek / Açı-Açı Benzerliği):\frac{h_1}{h_2} = \frac{k_1}{k_2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Taban Kenar Uzunluklarını Bulma
- DEFG paralelkenar olduğundan karşılıklı kenarlar eşittir:|EF| = |DG| = 2\text{ birim}
- Soruda |EC| = |EF| verildiğinden:|EC| = 2\text{ birim}
- ABCD paralelkenarının DC tabanı:|DC| = |DE| + |EC| = x + 2\text{ birim}
- DEFG paralelkenarının tabanı ise:|DE| = x\text{ birim}
Adım 2 — Yükseklikler Arasındaki Oranı Benzerlikten Bulma
- G noktasından DC doğrusuna indirilen dikmenin uzunluğuna (yüksekliğe) h_1 diyelim.
- A noktasından DC doğrusuna indirilen dikmenin uzunluğuna (yüksekliğe) h_2 diyelim.
- A, D ve G noktaları doğrusal olduğundan, D noktasındaki ters açılar eşittir. Oluşan dik üçgenlerin benzerliğinden:\frac{h_2}{h_1} = \frac{|AD|}{|DG|} = \frac{6}{2} = 3 \implies h_2 = 3h_1
Adım 3 — Alanları Taban \times Yükseklik Olarak Yazma ve Eşitleme
- Paralelkenarların alanlarını yazalım:\text{Alan}(DEFG) = |DE| \cdot h_1 = x \cdot h_1\text{Alan}(ABCD) = |DC| \cdot h_2 = (x + 2) \cdot 3h_1
- \text{Alan}(ABCD) = 5 \cdot \text{Alan}(DEFG) eşitliğini kuralım:(x + 2) \cdot 3h_1 = 5 \cdot (x \cdot h_1)
- Her iki taraftaki h_1 terimlerini sadeleştirelim:3(x + 2) = 5x3x + 6 = 5x2x = 6 \implies x = 3\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D seçeneği — 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Doğrusuna İndirilen Yükseklikler: İki paralelkenarın birer tabanı aynı doğru üzerinde (DC doğrusu) yer alıyorsa, alan oranı tabanların ve o tabanlara ait yüksekliklerin oranına bağlıdır.
- Kelebek (Açı-Açı) Benzerliği: A-D-G doğrusu ile D-C doğrusunun kesişiminde oluşan ters açılar sayesinde hipotenüslerin oranı (6/2 = 3), yüksekliklerin oranına (h_2/h_1 = 3) eşit olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Paralelkenarların tabanlarını doğrudan alanlarla oranlayıp yükseklik farkını göz ardı etmek.
- Doğru Yaklaşım: A ve G noktalarından taban doğrusuna inen dikmelerin oranını benzerlikten bularak alan hesabına katmak.
Benzerlik kullanarak alan oranı bulabileceğimiz farklı bir geometri sorusu çözmek ister misin?