ABCD paralelkenar, DEC üçgeni boyunca katlandığında C noktası üzerindeki C' noktası ile çakışmaktadır

Question Answer
1

ABCD paralelkenar, DEC üçgeni [DE] boyunca katlandığında C noktası [AB] üzerindeki C’ noktası ile çakışmaktadır.
|DC| = 15 birim, |CB| = 8 birim,
m(widehat{ADC}) + m(widehat{C’EB}) = 120^irc olarak veriliyor.
Buna göre |C'B| = x kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

ABCD paralelkenar, DEC üçgeni boyunca katlandığında C noktası üzerindeki C' noktası ile...
ABCD paralelkenar, DEC üçgeni boyunca katlandığında C noktası üzerindeki C' noktası ile...1024×768 44.1 KB

2

Paralelkenarda Katlama ve Kosinüs Teoremi ile Uzunluk Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Katlama çizgisi bir simetri eksenidir; katlanan üçgen ile oluşan yeni üçgen eştir (\triangle DEC \cong \triangle DEC'). Üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde karşı kenar Kosinüs Teoremi ile bulunur:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Paralelkenar ve Katlama Özelliklerinin Belirlenmesi
ABCD paralelkenarında karşılıklı kenarlar eşit olduğundan |AB| = |DC| = 15\text{ birim} ve |AD| = |BC| = 8\text{ birim} olur. [DE] boyunca katlama yapıldığından:

  • |DC'| = |DC| = 15\text{ birim}
  • m(\widehat{DC'E}) = m(\widehat{DCE}) = m(\widehat{C})
  • |C'B| = x olduğundan |AC'| = 15 - x birimdir.

Adım 2 — Açı İlişkileri ile m(\widehat{BC'E}) Açısının Bulunması
Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir: m(\widehat{B}) = m(\widehat{ADC}) ve m(\widehat{C}) = 180^\circ - m(\widehat{ADC}).

[AB] doğrusu üzerindeki C' noktasındaki komşu açıların toplamı 180^\circ’dir:

m(\widehat{AC'D}) + m(\widehat{DC'E}) + m(\widehat{BC'E}) = 180^\circ
m(\widehat{AC'D}) + (180^\circ - m(\widehat{ADC})) + m(\widehat{BC'E}) = 180^\circ \implies m(\widehat{AC'D}) + m(\widehat{BC'E}) = m(\widehat{ADC})

\triangle C'EB üçgeninin iç açıları toplamı yazılırsa:

m(\widehat{B}) + m(\widehat{C'EB}) + m(\widehat{BC'E}) = 180^\circ

m(\widehat{B}) = m(\widehat{ADC}) eşitliği yerine konulduğunda:

[m(\widehat{ADC}) + m(\widehat{C'EB})] + m(\widehat{BC'E}) = 180^\circ

Soruda m(\widehat{ADC}) + m(\widehat{C'EB}) = 120^\circ verildiğinden:

120^\circ + m(\widehat{BC'E}) = 180^\circ \implies m(\widehat{BC'E}) = 60^\circ

Adım 3 — \triangle ADC' Üçgeninde m(\widehat{ADC'}) Açısının Hesaplanması
m(\widehat{AC'D}) + 60^\circ = m(\widehat{B}) \implies m(\widehat{AC'D}) = m(\widehat{B}) - 60^\circ olur.
Paralelkenarda m(\widehat{A}) = 180^\circ - m(\widehat{B}) olduğundan, \triangle ADC' üçgeninin iç açıları toplamından:

m(\widehat{A}) + m(\widehat{ADC'}) + m(\widehat{AC'D}) = 180^\circ
(180^\circ - m(\widehat{B})) + m(\widehat{ADC'}) + (m(\widehat{B}) - 60^\circ) = 180^\circ
120^\circ + m(\widehat{ADC'}) = 180^\circ \implies m(\widehat{ADC'}) = 60^\circ

Adım 4 — Kosinüs Teoremi ile x Değerinin Bulunması
\triangle ADC' üçgeninde kenarlar |AD| = 8, |DC'| = 15, |AC'| = 15 - x ve m(\widehat{ADC'}) = 60^\circ’dir. Kosinüs Teoremi uygulanırsa:

(15 - x)^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)
(15 - x)^2 = 64 + 225 - 2 \cdot 120 \cdot \frac{1}{2}
(15 - x)^2 = 289 - 120 = 169
15 - x = 13 \implies x = 2\text{ birim}

:white_check_mark: CEVAP: B) 2 (|C'B| = 2\text{ birim})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Katlama sorularında katlanan kenar uzunluğunun korunduğunu (|DC| = |DC'| = 15) unutmamak ilk adımdır. Bilinmeyen açıları harflendirip doğru açı ile üçgen iç açılarını taraf tarafa topladığınızda değişken açılar birbirini götürerek çoğunlukla 60^\circ veya 30^\circ gibi özel açılara ulaşılır.

3

@Akademik_Rehber Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla

4

Bu soruda yapılan işlemleri mantığıyla ve çok daha sade bir dille adım adım inceleyelim:

1. Kenar Uzunluklarını Yerleştirme

  • Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir:
    • Üst kenar |DC| = 15 ise alt kenar |AB| = 15 birimdir.
    • Yan kenar |BC| = 8 ise sol kenar |AD| = 8 birimdir.
  • Katlama kuralı: Bir şekil katlandığında uzunluklar değişmez. [DEC] üçgeni katlanıp [DEC'] olduğuna göre:
    • |DC| = 15 birim olduğu için katlanan parça da |DC'| = 15 birim olur.
  • Tabandaki parçalar: Alt kenarın tamamı |AB| = 15’tir. Sağ taraftaki parça |C'B| = x olarak verilmiş, dolayısıyla sol tarafta kalan |AC'| = 15 - x olur.

2. Açıyı Bulma Mantığı (60^\circ Nereden Geldi?)

Bu sorunun en kilit yeri, sol taraftaki \triangle ADC' üçgeninin tepe açısının 60^\circ olduğunu keşfetmektir:

  1. Katlama yapıldığında C köşesindeki açı bozulmadan C' köşesine geçer (m(\widehat{DCE}) = m(\widehat{DC'E})).
  2. Paralelkenarda ardışık açılar birbirini 180^\circ’ye tamamlar (\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ).
  3. AB doğrusu üzerinde C' noktasındaki doğru açı (180^\circ) ile sağdaki küçük üçgenin (\triangle C'EB) iç açıları birbiriyle harflendirildiğinde, soruda verilen 120^\circ bilgisi sayesinde:
    • D köşesindeki m(\widehat{ADC'}) açısının 60^\circ olduğu bulunur.

3. Sonuca Ulaşma (Kosinüs Teoremi veya Dik İndirme)

Şimdi sadece soldaki \triangle ADC' üçgenine odaklanalım:

  • Yan kenar: |AD| = 8
  • Diğer kenar: |DC'| = 15
  • Bu iki kenar arasındaki açı: 60^\circ
  • Karşı kenar: |AC'| = 15 - x

İki kenar ve aradaki açı belliyken karşı kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi uygularız:

(15 - x)^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)
  • \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} olduğunu biliyoruz:
(15 - x)^2 = 64 + 225 - \left(2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}\right)
(15 - x)^2 = 289 - 120
(15 - x)^2 = 169

Karesi 169 olan sayı 13’tür:

15 - x = 13 \implies x = 2

Doğru cevap B seçeneğidir (2).