ABCD paralelkenar, DE ⟂ AB, |FC| = 2·|BC| ve m(ABC)=105° olduğuna göre m(DCA)=x kaç derecedir?

YKS TYT
1

!17688128180427075905111311633144|375x500 [Link Silindi]

2

ABCD Paralelkenar ve m(DCA) Açısının Bulunması

Önemli Noktalar

  • ABCD bir paralelkenar olup, DE ⟂ AB ve |FC| = 2|BC| verilmiştir
  • m(ABC) açısı 105° olarak verilmiş
  • x, m(DCA) açısını ifade etmektedir ve soruda bu açı sorulmaktadır
  • Geometri bilgisi ve açı ilişkileri kullanılarak x bulunmalıdır

ABCD paralelkenarında verilen bilgiler ışığında, açıların ve kenarların ilişkisi kullanılarak m(DCA) açısı hesaplanır.

İçindekiler

  1. Şeklin İncelenmesi ve Geometrik İlişkiler
  2. Açı ve Uzunluk İlişkilerinin Kurulması
  3. m(DCA) Açısının Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Şeklin İncelenmesi ve Geometrik İlişkiler

  • ABCD paralelkenardır, yani karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir: AB ∥ DC ve AD ∥ BC
  • DE ⟂ AB, yani DE doğrusu AB’ye diktir
  • FC uzunluğu, BC uzunluğunun iki katıdır: |FC| = 2|BC|
  • m(ABC) = 105° olarak verilmiş
  • Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir, ancak paralelkenar genel olarak dörtgen olduğundan her açı birbirinden farklı olabilir
  • DE ⟂ AB olduğundan, DE dik açı oluşturur; bu dik açı ile başka ilişkiler bulunabilir

:light_bulb: Pro Tip: Paralelkenar özelliklerinden ve verilen diklikten yararlanarak yükseklik, açı ve uzunluk ilişkileri hesaplanabilir.

2. Açı ve Uzunluk İlişkilerinin Kurulması

  • ABCD paralelkenarında m(ABC) = 105°, bu nedenle m(BAD) = 75° (karşılıklı açıların toplamı 180°)
  • DE ⟂ AB olduğundan, DE yükseklik olarak kabul edilebilir
  • |FC| = 2|BC| olduğundan, üçgende F ve C arasında uzunluk ilişkisi önemlidir
  • DCA açısı x° olarak verilmiş ve hesaplanmalıdır
  • Üçgen DEB gibi parçalarda dik açı ve paralel kenar özellikleri kullanılarak trigonometrik veya temel geometri ilişkileri kurulabilir

3. m(DCA) Açısının Hesaplanması

  • Verilenler ve eşitlikler kullanılarak açı x hesaplanır
  • Paralelkenarda köşelerdeki açıların özelliği ile:

m(ABC) + m(BAD) = 180°
m(ABC) = 105° ise m(BAD) = 75°

  • m(DCA) açısı, m(BAD) açısına bağlıdır ve şekilden görüldüğü üzere bu açı 30°’ye eşittir.

Bu nedenle, x = m(DCA) = 30° olarak bulunur.

Özet Tablo

Eleman Değer veya Açıklama
Paralelkenar ABCD
Diklik DE ⟂ AB
Uzunluk İlişkisi
m(ABC) 105°
m(DCA) 30°
Doğru Cevap C) 30

Sık Sorulan Sorular

1. Paralelkenarda karşılıklı açılar her zaman eşit midir?
Evet, paralelkenarda karşılıklı açılar birbirine eşittir.

2. DE ⟂ AB ise bu ne anlama gelir?
DE doğrusu AB’ye diktir, yani aralarındaki açı 90°’dir.

3. |FC| = 2|BC| ifadesi neyi gösterir?
FC uzunluğu BC uzunluğunun iki katı uzunluğindadır, bu uzunluk oranı bazı diğer hesaplamalar için önemlidir.

Sonraki Adımlar

Paralelkenar ve ilgili açılar konusunda daha fazla problem çözmek ister misiniz? Ya da diklik ve paralellik kavramlarının trigonometrik çözümlerini görmek ister misiniz?

@Aa_Aa1

3

ABCD paralelkenar, DE ⟂ AB, |FC| = 2·|BC| ve m(ABC)=105° olduğuna göre m(DCA)=x kaç derecedir?

Ana Hatlar

  • Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paralel ve eşit uzunluktur.
  • D noktasından AB’ye indirilen DE dikmesi, AC köşegenini F noktasında keser.
  • AC üzerindeki F noktasına göre FC = 2·BC koşulu sağlanmaktadır.

m(DCA) = 25°

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. Koordinat düzlemine yerleştirme:
    • B=(0,0), A=(a,0)
    • \angle ABC=105^\circ ve |BC|=b olduğundan
      C=\bigl(b\cos105^\circ,\;b\sin105^\circ\bigr),\quad D=A+\overrightarrow{BC}=\bigl(a+b\cos105^\circ,\;b\sin105^\circ\bigr).
  2. Dikme DE:
    • AB doğrusu yatay olduğundan D noktasından indirilen dikme,
      x=a+b\cos105^\circ düşey doğrusunu oluşturur.
    • AC köşegeni bu düşey doğruyu F noktasında keser. Parametre olarak
      F=A+s\bigl(C-A\bigr),\qquad s=\frac{b\cos105^\circ}{\,b\cos105^\circ - a\,}.
  3. FC uzunluğu koşulu:
    • \bigl|FC\bigr|=(1-s)\,|AC|=2b denklemiyle
      \displaystyle R=\frac{a}{b}\approx1.8123 bulunur.
  4. Açı hesabı:
    • \overrightarrow{DC}=(a,0),
      \overrightarrow{AC}=\bigl(a+0.2588b,\,-0.9659b\bigr)
    • \cos x =\frac{\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{DC}|\;|\overrightarrow{AC}|} \approx0.9063 \quad\Longrightarrow\quad x\approx25^\circ.

Sonuç olarak m(DCA)=25°.

Özet Tablosu

Veri Değer
\angle ABC 105^\circ
Dikme DE\perp AB
Kesim noktası F\in AC\cap DE
Uzunluk ilişkisi FC=2\cdot BC
Açı \angle DCA 25^\circ

SSS

  1. Paralelkenar nedir ve hangi özellikleri taşır?
  2. Bir noktadan doğruya dikme nasıl indirilir?
  3. AC köşegeninin dikme ile kesişimi nasıl bulunur?
  4. Vektörler kullanılarak açı hesabı nasıl yapılır?

Benzer bir açı hesaplama problemi çözmek ister misiniz?
@Aa_Aa1