ABCD karesinin içine kenar uzunlukları 4 ve 6 birim olan BFEG dikdörtgeni ile kırmızı ve mavi renkli üçgenler aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi çiziliyor.
Kırmızı ve mavi renkli üçgenlerin alanları farkı 11 birimkare olduğuna göre karenin çevresi kaç birimdir?
A) 44
B) 38
C) 33
D) 26
E) 22
Kare İçinde Üçgenlerin Alanları ve Karenin Çevresi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Karenin Çevresi: \text{Çevre} = 4 \times x (x: Karenin bir kenar uzunluğu)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Karenin Kenar Uzunluğunu Tanımlama ve Noktaları Belirleme
Karenin bir kenar uzunluğuna x birim diyelim:
- ABCD karesinde |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = x olur.
- BFEG dikdörtgeninin kenar uzunlukları |FB| = 4\text{ birim} ve |GB| = 6\text{ birim} olarak verilmiştir.
- E noktasının AD kenarına olan dik uzaklığı (kırmızı üçgenin yüksekliği):h_1 = x - |FB| = x - 4\text{ birim}
- E noktasının CD kenarına olan dik uzaklığı (mavi üçgenin yüksekliği):h_2 = x - |GB| = x - 6\text{ birim}
Adım 2 — Kırmızı ve Mavi Üçgenlerin Alanlarını İfade Etme
-
Kırmızı Üçgenin Alanı (A_{\text{kırmızı}}): Tabanı [AD] kenarı olup uzunluğu x, bu kenara ait yüksekliği ise (x - 4) birimdir.
A_{\text{kırmızı}} = \frac{x \cdot (x - 4)}{2} -
Mavi Üçgenin Alanı (A_{\text{mavi}}): Tabanı [CD] kenarı olup uzunluğu x, bu kenara ait yüksekliği ise (x - 6) birimdir.
A_{\text{mavi}} = \frac{x \cdot (x - 6)}{2}
Adım 3 — Alanlar Farkından Karenin Kenarını Bulma
Kırmızı ve mavi renkli üçgenlerin alanları farkı 11\text{ birim}^2 olarak verilmiştir:
A_{\text{kırmızı}} - A_{\text{mavi}} = \frac{x(x - 4)}{2} - \frac{x(x - 6)}{2} = 11
Parantezleri açıp ortak paydada düzenleyelim:
\frac{(x^2 - 4x) - (x^2 - 6x)}{2} = 11
\frac{2x}{2} = 11 \implies x = 11\text{ birim}
Adım 4 — Karenin Çevresini Hesaplama
Kenar uzunluğu x = 11\text{ birim} olan karenin çevresi:
\text{Çevre} = 4 \cdot x = 4 \cdot 11 = 44\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 44
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Tabanlı Üçgenlerde Alan Farkı: Taban uzunlukları eşit olan iki üçgenin alanları farkı, yükseklikleri farkı ile tabanın çarpımının yarısına eşittir: \Delta A = \dfrac{\text{Taban} \cdot (h_1 - h_2)}{2}.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Dikdörtgenin kenarlarını (4 ve 6) doğrudan üçgenlerin kenarları gibi düşünerek Pisagor bağıntısı veya benzerlik kurmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Üçgenlerin tabanlarının karenin kenarlarına (x) dayandığını görüp E noktasının kenarlara olan dik mesafelerini (x-4) ve (x-6) olarak almak.
Benzer bir geometri sorusuyla pratik yapmak ister misin?