ABCD karesinde (kenar 8 cm) E noktası AB kenarı üzerinde, renkli bölgelerin toplam alanı

Maths Question
1

üzerindedir.
Yukarıdakí ABCD karesinde E noktası [AB) kenarının
A) 32
8 cm
|CD= 8 cm olduğuna göre renkli bölgelerin alanları top-
lamı kac santimetrekaredir?
B) 40
C) 48
D) 56

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 61.2 KB

2

Yukarıdaki ABCD karesinde renkli bölgelerin alanları toplamı 32 cm²’dir.

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Karenin bir kenarını bulalım
Verilen bilgiye göre |CD| = 8 cm olduğundan karenin bir kenarı 8 cm’dir.

Adım 2 — Karenin alanını hesaplayalım
Karenin alanı:
8 \times 8 = 64 \text{ cm}^2

Adım 3 — Ortadaki beyaz üçgenin alanını bulalım
Şekilde ortadaki beyaz bölge, tabanı DC = 8 cm olan ve yüksekliği de karenin yüksekliği kadar yani 8 cm olan bir üçgendir.

Üçgen alanı:
\frac{8 \times 8}{2} = 32 \text{ cm}^2

Adım 4 — Renkli alanı bulalım
Renkli bölgeler, karenin alanından ortadaki beyaz üçgenin alanı çıkarılınca kalır:

64 - 32 = 32 \text{ cm}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: A) 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel Kavramlar:

1. Kare Alanı

  • Tanım: Bir karenin alanı, bir kenarının karesiyle bulunur.
  • Bu problemde: 8 \times 8 = 64 kullanıldı.

2. Üçgen Alanı

  • Tanım: Üçgen alanı, \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} ile bulunur.
  • Bu problemde: \frac{8 \times 8}{2} = 32 bulundu.

Sık Yapılan Hata:

:cross_mark: Ortadaki üçgenin yüksekliğini yanlış almak

  • Yanlış: Yüksekliği daha küçük sanmak
  • Doğru: Üçgenin yüksekliği, kare yüksekliği kadar 8 cm’dir.
  • Neden yanlış: Çünkü E noktası üst kenar üzerinde olsa da üçgenin tabanı ile karşı kenar arasındaki dik uzaklık değişmez.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

ABCD karesinde (kenar 8 cm) E noktası AB kenarı üzerinde, renkli bölgelerin toplam alanı

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI: ]

Adım 1 — Seçenek A Analizi
Seçenek A (32 cm²): Kare kenarı 8 cm olduğundan toplam alan 8 \times 8 = 64 cm²’dir. Renkli bölgeler sol sarı üçgen △AED ve sağ sarı üçgen △BEC olarak görünmektedir. Her ikisi için de taban AB parçası (AE ve EB), yükseklik kare yüksekliği 8 cm’dir. Üçgen alanı formülü \frac{1}{2} \times taban \times yükseklik kullanıldığında toplam \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 cm² verir (konumdan bağımsız).

Adım 2 — Seçenek B Analizi
Seçenek B (40 cm²): Bu değer, belki karenin \frac{5}{8}'ini (64 \times \frac{5}{8} = 40) veya üçgenlerden birini tam kare sanarak \frac{1}{2} \times 8 \times 10 gibi hatalı yükseklik varsayımıyla çıkar. Ancak yükseklik tam 8 cm olup, üçgenler örtüşmez; doğru toplam 32’dir.

Adım 3 — Seçenek C Analizi
Seçenek C (48 cm²): Bu, karenin \frac{3}{4}'ünü (64 \times \frac{3}{4} = 48) veya iki üçgeni tam dikdörtgen sanarak 8 \times 6 gibi hesaplama hatasıyla elde edilebilir. Gerçekte üçgen formülüyle toplam yarım karedir (32 cm²), fazladan alan eklenmez.

Adım 4 — Seçenek D Analizi
Seçenek D (56 cm²): Bu, karenin neredeyse tamamını (64 - 8 = 56) veya merkez ovalli bölgeyi yanlış çıkarıp ekleyerek bulunur. Merkez bölge (ED ve EC arası) renkli değildir; sadece sarı üçgenler sayılır ve toplam 32 cm²’dir.

Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A) 32 — Doğru: İki üçgen alanı toplamı \frac{1}{2} \times (AE + EB) \times 8 = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 cm².
:cross_mark: B) 40 — Yanlış: Yükseklik veya oran hatası.
:cross_mark: C) 48 — Yanlış: Fazla alan ekleme (ör. trapez).
:cross_mark: D) 56 — Yanlış: Merkez dahil etme veya çıkarma hatası.

Adım 6 — Son Doğrulama
Koordinatlarla doğrulayalım: A(0,8), B(8,8), D(0,0), C(8,0), E(x,8). △AED alanı: \frac{1}{2}| (0(8-0) + x(0-8) + 0(8-8)) | = \frac{1}{2} \times 8x = 4x. △BEC: 4(8-x). Toplam 32 cm². E konumu bağımsız!

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] A) 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Üçgen Alanı

  • [Tanım:] Dik veya tabanlı üçgende \frac{1}{2} \times taban \times yükseklik.
  • [Bu problemde:] Yatay taban (AB parçası), dikey yükseklik (kare boyu 8 cm).

2. Örtüşmeyen Bölgeler

  • [Tanım:] △AED ve △BEC sadece E’de kesişir, alanlar toplanır.
  • [Bu problemde:] Toplam karenin yarısı.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Yanlış Yükseklik

  • [Yanlış:] Diyagonal ED uzunluğunu yükseklik sanmak.
  • [Doğru:] Paralel tabana dik uzaklık (8 cm).
  • [Neden yanlış:] Formül dikey mesafe ister.

:cross_mark: Örtüşme Varsayımı

  • [Yanlış:] Üçgenleri çakıştırıp çıkarmak (40/48 gibi).
  • [Doğru:] Ayrı bölgeler, doğrudan toplama.
  • [Neden yanlış:] Görselde ayrı sarı alanlar.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

Bu konuyla ilgili pratik bir örnek ister misin? Ya da E konumuna göre alan dağılımını grafikle mi göstereyim?