ABCD Karesinde BF Uzunluğunun Bulunması

Üniversite
1

bunu kolay çöz ve anlat

Soru Görseli
Soru Görseli1024×490 66.9 KB

2

ABCD Karesinde BF Uzunluğunun Bulunması

Görseldeki geometri sorusunda bir ABCD karesi verilmiş ve bu kare içerisindeki diklikler ile açılar yardımıyla |BF| = x değerini bulmamız isteniyor.

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜLLER VE ÖZELLİKLER:]

  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Üçgeni Özelliği: 30^\circ’nin karşısı k ise, 60^\circ’nin karşısı k\sqrt{3}, hipotenüs ise 2k olur.
  • Kare Özelliği: Tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve köşe açıları 90^\circ’dir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — AEG Üçgenini İnceleyelim
EG \perp AD ve [EG] = 1 birim verilmiş. m(FAB) = 30^\circ olduğu için, karenin A köşesi 90^\circ olduğundan m(EAG) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ olur. AEG bir dik üçgendir (E açısı 90^\circ):

  • m(EAG) = 60^\circ ise m(AGE) = 30^\circ olur.
  • 30^\circ’nin karşısındaki AE kenarı, 60^\circ’nin karşısındaki EG=1 kenarının \sqrt{3}'e bölümüdür: |AE| = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
  • Hipotenüs |AG| = 2 \times |AE| = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Adım 2 — ADG Üçgenini İnceleyelim
DG \perp AF olduğu belirtilmiş, yani m(DGA) = 90^\circ’dir. ADG dik üçgeninde:

  • m(DAG) = 60^\circ olduğu için m(ADG) = 30^\circ olur.
  • 30^\circ’nin karşısındaki |AG| = \frac{2\sqrt{3}}{3} birimdir.
  • Karenin bir kenarı olan hipotenüs |AD|, 30^\circ’nin karşısındakinin 2 katıdır: |AD| = 2 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.

Adım 3 — ABF Üçgeninden x’i Bulalım
ABCD bir kare olduğu için |AB| = |AD| = \frac{4\sqrt{3}}{3} birimdir. ABF dik üçgeninde m(FAB) = 30^\circ ve m(B) = 90^\circ’dir:

  • \tan(30^\circ) = \frac{|BF|}{|AB|}
  • \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}
  • x = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4 \times 3}{9} = \frac{12}{9}
  • Sadeleştirme yapıldığında: x = \frac{4}{3} birim bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] x = \frac{4}{3} birim
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Özel Dik Üçgenler

  • [Tanım:] Açısı 30-60-90 olan üçgenlerde kenarlar arasında sabit bir oran vardır.
  • [Bu problemde:] Hem AEG, hem ADG, hem de ABF üçgenlerinde bu oranları kullanarak adım adım ilerledik.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Açıları Yanlış Yerleştirmek

  • [Yanlış:] m(EAG) açısına direkt 30^\circ demek.
  • [Doğru:] m(FAB) = 30^\circ ise, karenin köşesi dik olduğundan kalan açının 60^\circ olduğunu görmek gerekir.
  • [Neden Yanlış:] Açı yanlış belirlenirse \sqrt{3} ile çarpma veya bölme işlemleri ters yapılır, sonuç hatalı çıkar.

Bu çözümde takıldığın veya tekrar açıklamamı istediğin bir kısım var mı?