Aşağıdaki şekilde ABCD karesi biçimindeki bir parkın planı verilmiştir. Bu parktaki her bir bölgenin alanı o bölge içine yazılmıştır.
Tüm bölümlerin kenar uzunlukları birer tam sayı olduğuna göre X + Y toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 40
B) 44
C) 49
D) 54
E) 56
Dikdörtgensel Alan Parçalaması ve Kare Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir karenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olup alanı A = S^2 formülüyle bulunur. Dikdörtgenin alanı ise \text{Alan} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar} bağıntısıyla hesaplanır ve kenar uzunlukları tam sayı olduğunda kenarlar, alanın birer tam sayı böleni olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Karenin Kenar Uzunluğunu (S) Belirleme
ABCD karesinin bir kenar uzunluğuna S diyelim. Şekildeki dikey sütunlar incelendiğinde ortadaki KLMP bölgesinin yüksekliği karenin bir kenarı olan S’ye eşittir:
\text{Alan}(KLMP) = |LM| \cdot S = 85
Tüm kenar uzunlukları pozitif tam sayı olduğundan S, 85 sayısının bir tam sayı böleni olmalıdır (1, 5, 17, 85). Sol sütunda üst üste bulunan bölgelerin alanları 35 ve 70 olduğundan, sol sütunun genişliği her iki alanı da bölmelidir. Genişlik en fazla 7 olabileceğinden sol sütunun yüksekliği en az 5 + 10 + 1 = 16 birimdir. Dolayısıyla S > 16 olmalıdır. S < 85 şartı da sütun genişliklerinin toplamından (S = w_1 + w_2 + w_3) sağlandığı için:
S = 17 \text{ birim}
Buradan orta sütunun genişliği |LM| = \frac{85}{17} = 5 \text{ birim} bulunur.
Adım 2 — Sol Sütun ve X Alanının Hesabı
Sol sütunun genişliğine w_1 diyelim. w_1, 35 ve 70’i bölen bir tam sayı olmalıdır. w_1 = 7 seçildiğinde:
- Üst bölgenin yüksekliği: \frac{35}{7} = 5 \text{ birim}
- Alt bölgenin yüksekliği: \frac{70}{7} = 10 \text{ birim}
- X bölgesinin yüksekliği: h_X = 17 - (5 + 10) = 2 \text{ birim}
X = 7 \cdot 2 = 14
Adım 3 — Sağ Sütun, Y Alanı ve Toplamın Hesabı
Karenin taban kenarı S = 17 birimdir. Sağ sütunun genişliği (w_3):
w_3 = 17 - (w_1 + w_2) = 17 - (7 + 5) = 5 \text{ birim}
Sağ sütunda alanı 55 olan bölgenin yüksekliği \frac{55}{5} = 11 birimdir. Y bölgesinin yüksekliği ise 17 - 11 = 6 birim olur:
Y = 5 \cdot 6 = 30
Elde edilen değerler toplandığında:
X + Y = 14 + 30 = 44
(Karenin toplam alanından kontrol: S^2 = 17^2 = 289 ve 289 - (35 + 70 + 85 + 55) = 44 doğrulamasını sağlar.)
CEVAP: B) 44 (X + Y = 44)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür alan parçalama sorularında şeklin bir kare olduğu unutulmamalıdır; S = 17 bulunduktan sonra tüm alanların toplamının 17^2 = 289 yapması gerektiği fark edilirse, tek tek X ve Y’yi bulmaya gerek kalmadan 289 - 245 = 44 işlemiyle doğrudan sonuca ulaşılabilir.
@Akademik_Rehber Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Soruyu en sade ve anlaşılır mantıkla 4 temel adımda inceleyelim:
1. Karenin Bir Kenarını Bulma (Kilit Nokta)
- Şeklin tamamı bir karedir; yani dört kenarı da birbirine eşittir (bu kenara S diyelim).
- Ortadaki yeşil sütuna (alanı 85 olan bölgeye) bakalım. Bu bölge karenin en üstünden en altına kadar kesintisiz uzanmaktadır. Dolayısıyla yüksekliği karenin kenarı olan S’ye eşittir.
- \text{Alan} = \text{Genişlik} \times \text{Yükseklik} olduğuna göre:\text{Genişlik} \times S = 85
- Kenarlar tam sayı olduğundan S, 85’in bölenlerinden biri olmalıdır (1, 5, 17, 85).
- Şimdi sol sütuna bakalım: Üst üste 35, X ve 70 alanları var.
- Sol sütunun genişliği en fazla 7 olabilir (çünkü hem 35’i hem 70’i tam bölmelidir).
- Genişlik 7 olsa bile: 35 / 7 = 5 birim, 70 / 7 = 10 birim yükseklik yapar. Sadece bu ikisinin toplamı 5 + 10 = 15 birimdir.
- Arada bir de X parçası olduğuna göre, karenin kenarı (S) kesinlikle 15’ten büyük olmak zorundadır.
- 85’in 15’ten büyük en küçük böleni 17’dir. Demek ki:
- Karenin bir kenarı: S = 17 birim
- Orta sütunun genişliği: 85 / 17 = 5 birim
2. Sol Sütun ve X Alanı
- Sol sütunun yüksekliği de 17 birimdir.
- Sol sütunun genişliği hem 35’i hem 70’i bölen 7 birim seçilirse:
- Alanı 35 olan üst parçanın yüksekliği: 35 / 7 = 5 birim
- Alanı 70 olan alt parçanın yüksekliği: 70 / 7 = 10 birim
- Geriye kalan ortadaki X parçasının yüksekliği: 17 - (5 + 10) = 2 birim
- Buradan:X = 7 \times 2 = 14
3. Sağ Sütun ve Y Alanı
- Karenin taban kenarı toplam 17 birimdir:
- Sol sütun = 7 birim
- Orta sütun = 5 birim
- Sağ sütuna kalan genişlik: 17 - (7 + 5) = 5 birim
- Sağ sütundaki üst parçanın alanı 55 olduğuna göre yüksekliği:55 / 5 = 11 \text{ birim}
- Karenin toplam yüksekliği 17 birim olduğundan Y’ye kalan yükseklik:17 - 11 = 6 \text{ birim}
- Buradan:Y = 5 \times 6 = 30
4. Sonuç ve Pratik Sağlama
- İstenen toplam:X + Y = 14 + 30 = \mathbf{44}
Sınav Kısayolu: Karenin bir kenarını 17 bulduktan sonra hiç X ve Y’yi ayrı ayrı hesaplamadan da çözebilirdik:
- Karenin toplam alanı: 17 \times 17 = 289
- Verilen alanların toplamı: 35 + 70 + 85 + 55 = 245
- Geriye kalan alan: X + Y = 289 - 245 = \mathbf{44} (Doğru Cevap: B)