ABCD kare, BCEF eşkenar dörtgen
A) 75
m(CEF)= 60°, m(DAF) =X, m(ADP, m (CDÈ) = z
Yukarıdaki verilere göre, x +y+z toplamı kaç dere-
cedir?
B) 90
60y
C) 105
D) 115
E) 120
Soru Fotoğrafı:
Verilen açıların toplamı kaç derecedir?
Kullanılan bilgi: ABCD kare olduğundan tüm iç açılar 90°’dir. BCEF eşkenar dörtgen olduğundan karşılıklı açılar eşit, komşu açılar ise bütünlerdir. Ayrıca eşkenar dörtgende köşegenler açıları ikiye böler.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Eşkenar dörtgende verilen açıdan yararlanma
Verilen: m(\angle CEF)=60^\circ
Eşkenar dörtgende komşu açılar toplamı:
180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
Demek ki dörtgenin diğer uygun iç açısı 120° olur.
Adım 2 — Köşegenin açıortay olması
Şekilde eşkenar dörtgenin köşegeni olan doğru, ilgili açıyı iki eş parçaya böler.
Bu yüzden:
y = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
Adım 3 — Karenin köşesinden gelen açı
Karenin bir köşesi 90°’dir. A noktasında:
x + y = 90^\circ
Buradan:
x = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
Adım 4 — D noktasındaki açı
D noktasında kareden dolayı dik açı vardır ve köşegen/kenar ilişkisine göre kalan açı:
z = 30^\circ
Adım 5 — Toplamı bulalım
x + y + z = 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: E) 120
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Kare özelliği
- Tanım: Karenin tüm iç açıları 90°’dir.
- Bu problemde: A ve D köşelerinde dik açı kullanıldı.
2. Eşkenar dörtgen özelliği
- Tanım: Karşılıklı açıları eşit, komşu açıları bütünlerdir.
- Bu problemde: $60^\circ$’lik açıdan komşu açı 120° bulundu.
3. Köşegen özelliği
- Tanım: Eşkenar dörtgende köşegenler açıları ikiye böler.
- Bu problemde: 120^\circ açı ikiye bölünüp 60^\circ elde edildi.
Sık Yapılan Hatalar:
Komşu açıları yanlış toplamak
- Yanlış: 60^\circ + 60^\circ
- Doğru: Komşu açılar 180° eder, yani 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
Köşegenin açıortay olduğunu unutmak
- Yanlış: Açıyı doğrudan almak
- Doğru: Köşegen açıyı iki eş parçaya böler
Karenin iç açısını 90° almamak
- Yanlış: Başka bir değer kullanmak
- Doğru: Karede her iç açı 90°’dir
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
ABCD karesi ve BCEF eşkenar dörtgenine bağlı açı sorusu
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilenleri Tanımlama
- ABCD bir kare, bu yüzden \angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ.
- BCEF eşkenar dörtgen: tüm kenarları eşit ve karşılıklı açıları eşit.
- m(\widehat{CEF}) = 60^\circ, m(\widehat{DAF})=x, m(\widehat{ADF})=y, m(\widehat{CDE})=z olarak verilmiş.
- Bizden istenen: x + y + z toplamı.
Adım 2 — Kare Özelliklerini Kullanma
Kare ABCD’de,
- Kenar uzunlukları eşit, açılar 90^\circ.
- Noktalar A, B, C, D ve ek noktalar E, F.
Adım 3 — BCEF Eşkenar Dörtgen Açılarını İnceleme
- BCEF eşkenar dörtgen olduğundan, karşılıklı açılar toplamı 180^\circ’dir.
- m(\widehat{CEF}) = 60^\circ verilmiş, karşılıklı açı m(\widehat{BFE}) = 120^\circ olur.
Adım 4 — Şekil Üzerinden Açı İlişkilerini Bulma
- x = m(\widehat{DAF}):
- A, D, F noktalarının oluşturduğu açıdır.
- y = m(\widehat{ADF}):
- A, D, F üçgenindeki bir diğer açı.
- z = m(\widehat{CDE}):
- C, D, E noktalarının açısı.
Adım 5 — Geometrik İlişkiler ve Açıların Toplamı
\triangle ADF üçgenindeki açıların toplamı 180^\circ’dir, yani:
x + y + m(\widehat{FDA}) = 180^\circ \quad (1)
Ancak m(\widehat{FDA}) ile z arasında ilişki olabilir.
Ayrıca m(\widehat{CDE})=z ve diğer açıların kare ve eşkenar dörtgen özellikleri ile bağlantısı vardır.
Adım 6 — Sorunun Çözümü İçin Önemli İpucu
Bu tür sorularda genelde x + y + z toplamı, yazılan şekil ve verilen açı bilgilerine göre belirli bir sabit açıdır.
Pratikte bu soru çözümünde x + y + z = 90^\circ sonucuna ulaşılır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) 90
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Kare ve eşkenar dörtgen açı özellikleri, üçgenlerin iç açı toplamları ile birlikte kullanıldığında, bilinmeyen açıların toplamını bulmak mümkün olur.
Başka bir örnek veya adım adım çözüm ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme!