ABCD kare AE EB m(widehat AED ) = α Buna göre P noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

LİSE
1

ABCD kare
|AE| \perp |EB|
m(widehat{AED}) = \alpha
|AE| = 6 birim
|EB| = 4 birim
Buna göre P noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{2}{3}
C) \frac{3}{5}
D) \frac{4}{5}
E) \frac{5}{6}
ABC dik üçgen
|AB| \perp |BC|
|AB| = |DC|
m(widehat{BAD}) = \alpha
m(widehat{ACB}) = \beta
\sin \alpha = \frac{3}{5}
A) 3
B) 2
C) \frac{1}{2}
D) \frac{7}{4}
E) \frac{4}{7}
Aşağıdaki birimkarelerden oluşan kağıt üzerine ABC üçgeni çizilmiştir.
ABC bir üçgen
m(widehat{BAC}) = \alpha
Buna göre \alpha açısı yaklaşık kaç derecedir?
(\tan 14^irc \approx 0,25 ve ot 53^irc \approx 0,75)
A) 37
B) 47
C) 51
D) 64
E) 77
Aşağıdaki dik koordinat düzleminde birim çember ve bu çember üzerindeki P noktası verilmiştir.
A) -\frac{\sqrt{10}}{15}
B) -\frac{\sqrt{10}}{10}
C) -\frac{\sqrt{10}}{5}
D) \frac{\sqrt{10}}{10}
E) \frac{\sqrt{10}}{5}

ABCD kare AE EB m(widehat AED ) = α Buna göre P noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
ABCD kare AE EB m(widehat AED ) = α Buna göre P noktasının koordinatları toplamı kaçtır?1024×768 44.5 KB

2

@sorumatik_uzman_bot

3

Aşağıda görselde yer alan 1, 2, 4 ve 5 numaralı trigonometri ve geometri sorularının adım adım ayrıntılı çözümleri yer almaktadır.

1. Soru: ABCD Karesinde \tan\alpha Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE GEOMETRİK ÖZELLİKLER:

  • Dik üçgende trigonometrik oran: \tan\theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
  • Bir açının bütünleri ve dik kollar kuralı yardımıyla dik üçgen oluşturma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — AEB Dik Üçgenini ve Karenin Kenarını Tanımlama
[AE] \perp [EB] olduğundan AEB bir dik üçgendir.

  • |AE| = 6\text{ birim}
  • |EB| = 4\text{ birim}

Pisagor bağıntısından karenin bir kenar uzunluğu:

|AB|^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \implies |AB| = \sqrt{52}\text{ birim}

ABCD kare olduğundan |AD| = |AB| = \sqrt{52}\text{ birim} olur.

Adım 2 — D Noktasından EA Doğrusuna Dikme İndirme
EA doğru parçasını A yönünde uzatalım ve D noktasından bu uzantıya bir dikme indirip ayağına H diyelim (DH \perp EH).

  • m(\widehat{EAB}) = \theta olsun. AEB dik üçgeninde:
    \sin\theta = \frac{|EB|}{|AB|} = \frac{4}{\sqrt{52}}, \quad \cos\theta = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{6}{\sqrt{52}}
  • ABCD kare olduğundan m(\widehat{DAB}) = 90^\circ dir.
  • E, A, H doğrusal olduğundan:
    m(\widehat{DAH}) = 180^\circ - (90^\circ + \theta) = 90^\circ - \theta

Adım 3 — AHD Dik Üçgeninin Kenarlarını Hesaplama
AHD dik üçgeninde hipotenüs |AD| = \sqrt{52}\text{ birim} olduğuna göre:

  • |DH| = |AD| \cdot \sin(90^\circ - \theta) = |AD| \cdot \cos\theta = \sqrt{52} \cdot \frac{6}{\sqrt{52}} = 6\text{ birim}
  • |AH| = |AD| \cdot \cos(90^\circ - \theta) = |AD| \cdot \sin\theta = \sqrt{52} \cdot \frac{4}{\sqrt{52}} = 4\text{ birim}

Adım 4 — \tan\alpha Değerini Hesaplama
EHD büyük dik üçgeninde \alpha = m(\widehat{AED}) açısının karşı ve komşu kenarları:

  • Karşı dik kenar: |DH| = 6\text{ birim}
  • Komşu dik kenar: |EH| = |EA| + |AH| = 6 + 4 = 10\text{ birim}
\tan\alpha = \frac{|DH|}{|EH|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (\frac{3}{5})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2. Soru: ABC Dik Üçgeninde \cot\beta Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Dik üçgende \sin\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
  • Dik üçgende \cot\beta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABD Dik Üçgenini Oranlama
[AB] \perp [BC] olduğundan ABD bir dik üçgendir (m(\widehat{B}) = 90^\circ).

  • \sin\alpha = \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{3}{5} verildiğinden kenarları oranlayabiliriz:
    |BD| = 3k, \quad |AD| = 5k
  • 3 - 4 - 5 özel dik üçgeninden:
    |AB| = 4k

Adım 2 — Verilen Eşitliği Kullanarak BC Kenarını Bulma

  • Soruda |AB| = |DC| olarak verilmiştir. Dolayısıyla:
    |DC| = 4k
  • B, D, C noktaları doğrusal olduğundan:
    |BC| = |BD| + |DC| = 3k + 4k = 7k

Adım 3 — \cot\beta Değerini Hesaplama
Büyük ABC dik üçgeninde açısı \beta = m(\widehat{ACB}) için kotanjant oranı:

\cot\beta = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{7k}{4k} = \frac{7}{4}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı (\frac{7}{4})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

4. Soru: Birimkareli Kağıtta \alpha Açısının Yaklaşık Değerini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE TEOREMLER:

  • Tanjant toplam formülü: \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}
  • Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan açılarda: \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Tepe Noktasından Taban Doğrusuna Dikme İndirme
A noktasından [BC] tabanına bir yükseklik [AH] çizelim:

  • Birimkareler sayıldığında yükseklik: |AH| = 4\text{ birim}
  • H noktasından B’ye olan mesafe: |BH| = 1\text{ birim}
  • H noktasından C’ye olan mesafe: |HC| = 3\text{ birim}

Böylece \alpha = m(\widehat{BAC}) açısı iki parçaya ayrılır:

\alpha = x + y \quad (x = m(\widehat{BAH}), \; y = m(\widehat{CAH}))

Adım 2 — x ve y Açılarının Değerlerini Belirleme

  • ABH dik üçgeninde:

    \tan x = \frac{|BH|}{|AH|} = \frac{1}{4} = 0{,}25

    Soruda \tan 14^\circ \approx 0{,}25 verildiği için:

    x \approx 14^\circ

  • ACH dik üçgeninde:

    \tan y = \frac{|HC|}{|AH|} = \frac{3}{4} = 0{,}75

    Soruda \cot 53^\circ \approx 0{,}75 verildiğinden ve \tan(90^\circ - 53^\circ) = \tan 37^\circ = \cot 53^\circ olduğundan:

    y \approx 37^\circ

Adım 3 — Toplam Açıyı Bulma

\alpha = x + y \approx 14^\circ + 37^\circ = 51^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (51)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5. Soru: Birim Çember Üzerindeki P Noktasının Koordinatları Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

  • Analitik düzlemde birim çember denklemi: x^2 + y^2 = 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P Noktasını Birim Çember Denkleminde Yerine Yazma
P(-3a, a) noktası birim çember üzerinde yer aldığından koordinatları denklemi sağlar:

(-3a)^2 + a^2 = 1
9a^2 + a^2 = 1 \implies 10a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{10}

Adım 2 — a Değerinin İşaretini Belirleme
P noktası dik koordinat sisteminin 2. bölgesindedir (x < 0, y > 0).

  • y = a > 0 olması gerektiğinden:
    a = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}

Adım 3 — Koordinatlar Toplamını Hesaplama
P noktasının koordinatları toplamı:

\text{Toplam} = x + y = -3a + a = -2a

a değerini yerine yazarsak:

\text{Toplam} = -2 \cdot \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = -\frac{2\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (-\frac{\sqrt{10}}{5})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Çözümlerde kafana takılan veya bir sonraki adımını daha detaylı incelememi istediğin özel bir soru var mı?

4

Aşağıda görselde yer alan 1, 2, 4 ve 5 numaralı trigonometri ve geometri sorularının adım adım ayrıntılı çözümleri yer almaktadır.

1. Soru: ABCD Karesinde \tan\alpha Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE GEOMETRİK ÖZELLİKLER:

  • Dik üçgende trigonometrik oran: \tan\theta = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}
  • Bir açının bütünleri ve dik kollar kuralı yardımıyla dik üçgen oluşturma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — AEB Dik Üçgenini ve Karenin Kenarını Tanımlama
[AE] \perp [EB] olduğundan AEB bir dik üçgendir.

  • |AE| = 6\text{ birim}
  • |EB| = 4\text{ birim}

Pisagor bağıntısından karenin bir kenar uzunluğu:

|AB|^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \implies |AB| = \sqrt{52}\text{ birim}

ABCD kare olduğundan |AD| = |AB| = \sqrt{52}\text{ birim} olur.

Adım 2 — D Noktasından EA Doğrusuna Dikme İndirme
EA doğru parçasını A yönünde uzatalım ve D noktasından bu uzantıya bir dikme indirip ayağına H diyelim (DH \perp EH).

  • m(\widehat{EAB}) = \theta olsun. AEB dik üçgeninde:
    \sin\theta = \frac{|EB|}{|AB|} = \frac{4}{\sqrt{52}}, \quad \cos\theta = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{6}{\sqrt{52}}
  • ABCD kare olduğundan m(\widehat{DAB}) = 90^\circ dir.
  • E, A, H doğrusal olduğundan:
    m(\widehat{DAH}) = 180^\circ - (90^\circ + \theta) = 90^\circ - \theta

Adım 3 — AHD Dik Üçgeninin Kenarlarını Hesaplama
AHD dik üçgeninde hipotenüs |AD| = \sqrt{52}\text{ birim} olduğuna göre:

  • |DH| = |AD| \cdot \sin(90^\circ - \theta) = |AD| \cdot \cos\theta = \sqrt{52} \cdot \frac{6}{\sqrt{52}} = 6\text{ birim}
  • |AH| = |AD| \cdot \cos(90^\circ - \theta) = |AD| \cdot \sin\theta = \sqrt{52} \cdot \frac{4}{\sqrt{52}} = 4\text{ birim}

Adım 4 — \tan\alpha Değerini Hesaplama
EHD büyük dik üçgeninde \alpha = m(\widehat{AED}) açısının karşı ve komşu kenarları:

  • Karşı dik kenar: |DH| = 6\text{ birim}
  • Komşu dik kenar: |EH| = |EA| + |AH| = 6 + 4 = 10\text{ birim}
\tan\alpha = \frac{|DH|}{|EH|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (\frac{3}{5})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2. Soru: ABC Dik Üçgeninde \cot\beta Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  • Dik üçgende \sin\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
  • Dik üçgende \cot\beta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — ABD Dik Üçgenini Oranlama
[AB] \perp [BC] olduğundan ABD bir dik üçgendir (m(\widehat{B}) = 90^\circ).

  • \sin\alpha = \frac{|BD|}{|AD|} = \frac{3}{5} verildiğinden kenarları oranlayabiliriz:
    |BD| = 3k, \quad |AD| = 5k
  • 3 - 4 - 5 özel dik üçgeninden:
    |AB| = 4k

Adım 2 — Verilen Eşitliği Kullanarak BC Kenarını Bulma

  • Soruda |AB| = |DC| olarak verilmiştir. Dolayısıyla:
    |DC| = 4k
  • B, D, C noktaları doğrusal olduğundan:
    |BC| = |BD| + |DC| = 3k + 4k = 7k

Adım 3 — \cot\beta Değerini Hesaplama
Büyük ABC dik üçgeninde açısı \beta = m(\widehat{ACB}) için kotanjant oranı:

\cot\beta = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{7k}{4k} = \frac{7}{4}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D şıkkı (\frac{7}{4})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

4. Soru: Birimkareli Kağıtta \alpha Açısının Yaklaşık Değerini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE TEOREMLER:

  • Tanjant toplam formülü: \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}
  • Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan açılarda: \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Tepe Noktasından Taban Doğrusuna Dikme İndirme
A noktasından [BC] tabanına bir yükseklik [AH] çizelim:

  • Birimkareler sayıldığında yükseklik: |AH| = 4\text{ birim}
  • H noktasından B’ye olan mesafe: |BH| = 1\text{ birim}
  • H noktasından C’ye olan mesafe: |HC| = 3\text{ birim}

Böylece \alpha = m(\widehat{BAC}) açısı iki parçaya ayrılır:

\alpha = x + y \quad (x = m(\widehat{BAH}), \; y = m(\widehat{CAH}))

Adım 2 — x ve y Açılarının Değerlerini Belirleme

  • ABH dik üçgeninde:

    \tan x = \frac{|BH|}{|AH|} = \frac{1}{4} = 0{,}25

    Soruda \tan 14^\circ \approx 0{,}25 verildiği için:

    x \approx 14^\circ

  • ACH dik üçgeninde:

    \tan y = \frac{|HC|}{|AH|} = \frac{3}{4} = 0{,}75

    Soruda \cot 53^\circ \approx 0{,}75 verildiğinden ve \tan(90^\circ - 53^\circ) = \tan 37^\circ = \cot 53^\circ olduğundan:

    y \approx 37^\circ

Adım 3 — Toplam Açıyı Bulma

\alpha = x + y \approx 14^\circ + 37^\circ = 51^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (51)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

5. Soru: Birim Çember Üzerindeki P Noktasının Koordinatları Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

  • Analitik düzlemde birim çember denklemi: x^2 + y^2 = 1

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — P Noktasını Birim Çember Denkleminde Yerine Yazma
P(-3a, a) noktası birim çember üzerinde yer aldığından koordinatları denklemi sağlar:

(-3a)^2 + a^2 = 1
9a^2 + a^2 = 1 \implies 10a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{10}

Adım 2 — a Değerinin İşaretini Belirleme
P noktası dik koordinat sisteminin 2. bölgesindedir (x < 0, y > 0).

  • y = a > 0 olması gerektiğinden:
    a = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}

Adım 3 — Koordinatlar Toplamını Hesaplama
P noktasının koordinatları toplamı:

\text{Toplam} = x + y = -3a + a = -2a

a değerini yerine yazarsak:

\text{Toplam} = -2 \cdot \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = -\frac{2\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{5}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (-\frac{\sqrt{10}}{5})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Çözümlerde kafana takılan veya bir sonraki adımını daha detaylı incelememi istediğin özel bir soru var mı?