ABCD eşkenar dörtgen, m(widehat{DAE}) = m(widehat{EAF})
|DE| = |EC| = 6 birim,
Yukarıdaki verilere göre ABF üçgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36
Eşkenar Dörtgende Açıortay ve Benzerlik Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşkenar dörtgende tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Paralel iki doğru arasındaki iç ters (Z kuralı) açılar birbirine eşittir; bir üçgende iki iç açının eşit olması üçgenin ikizkenar olduğunu gösterir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
ABCD bir eşkenar dörtgen olduğundan tüm kenarları eşit uzunluktadır:
|DC| = |DE| + |EC| = 6 + 6 = 12\text{ birim} \implies |AB| = |BC| = |CD| = |DA| = 12\text{ birim}
Adım 2 — Doğrunun Uzatılması ve Eş Üçgenlerin Elde Edilmesi
[AE] doğru parçasını E yönünde, [BC] kenarını da C yönünde uzatarak kesiştikleri noktaya K diyelim. AD \parallel BK olduğundan Kelebek (kum saati) benzerliği oluşur:
- E noktası [DC] kenarının orta noktasıdır (|DE| = |EC| = 6).
- Buradan \triangle ADE \cong \triangle KCE (eş üçgenler) elde edilir.
|CK| = |AD| = 12\text{ birim}
Adım 3 — İkizkenar Üçgenin Keşfi
m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{EAF}) = \alpha olsun. AD \parallel BK paralelliğinden dolayı iç ters açılardan:
m(\widehat{AKB}) = m(\widehat{DAE}) = \alpha
\triangle AFK üçgeninde:
m(\widehat{FAK}) = \alpha \quad \text{ve} \quad m(\widehat{FKA}) = \alpha \implies |AF| = |FK|
Adım 4 — Çevre Hesabı
B, F, C, K noktaları doğrusal olduğundan:
|BF| + |FK| = |BK| = |BC| + |CK| = 12 + 12 = 24\text{ birim}
|AF| = |FK| eşitliğini ABF üçgeninin çevresinde yerine yazarsak:
\text{Çevre}(ABF) = |AB| + |BF| + |AF| = |AB| + (|BF| + |FK|) = 12 + 24 = 36\text{ birim}
CEVAP: E) 36 (\text{Çevre}(ABF) = 36\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paralelkenar ve eşkenar dörtgen sorularında açıortay ile kenar orta noktası bir arada verilmişse, doğruyu şeklin dışına uzatarak oluşturulan kelebek benzerliği ve oluşan gizli ikizkenar üçgen soruyu saniyeler içinde çözdürür.