ABCD dörtgeninde K ve L noktaları sırasıyla [DC] ve [AD] kenarlarının orta noktalarıdır.
[KL] parallel [MN], |MA| = 3|MB| ve |MN| = 10 cm olduğuna göre |KL| = x kaç cm’dir?
Dörtgende Orta Taban ve Benzerlik Teoremi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası orta tabandır; tabana paralel ve uzunluğu tabanın yarısına eşittir. Üçgen benzerliğinde ise paralel doğruların ayırdığı kenarlar ve tabanlar arasında Temel Benzerlik Teoremi geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — [AC] Köşegenini Çizme ve Orta Tabanı Belirleme
ABCD dörtgeninde [AC] köşegeni çizildiğinde oluşan DAC üçgeninde, L noktası [AD]'nin ve K noktası [DC]'nin orta noktasıdır. Dolayısıyla [KL], DAC üçgeninin orta tabanıdır:
[KL] \parallel [AC] \quad \text{ve} \quad |KL| = \frac{|AC|}{2}
Adım 2 — Paralellik İlişkisi ile Benzerlik Kurma
Soru kökünde [KL] \parallel [MN] olarak verilmiştir. [KL] \parallel [AC] olduğundan, aynı zamanda [MN] \parallel [AC] olur. Bu paralellik BAC üçgeninde temel benzerlik oluşturur:
\triangle BMN \sim \triangle BAC
Adım 3 — Kenar Oranını ve |AC| Köşegen Uzunluğunu Bulma
|MB| = k seçilirse |MA| = 3k ve tüm kenar |AB| = k + 3k = 4k olur. Benzerlik oranını uygulayalım:
\frac{|BM|}{|BA|} = \frac{|MN|}{|AC|} \implies \frac{k}{4k} = \frac{10}{|AC|} \implies \frac{1}{4} = \frac{10}{|AC|} \implies |AC| = 40\text{ cm}
Adım 4 — |KL| = x Değerini Hesaplama
KL uzunluğu [AC] tabanının yarısı olduğuna göre:
x = |KL| = \frac{|AC|}{2} = \frac{40}{2} = 20\text{ cm}
CEVAP: 20 cm (|KL| = 20\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Verilen paralellikleri ortak bir doğruya bağlamak için iki parçanın da baktığı ortak köşegeni ([AC]) çizmek çözüme doğrudan ulaştırır. |MA| = 3|MB| oranında |BA|'nın 4 kat olduğuna dikkat edilmeli, benzerlik oranı 1/3 değil 1/4 olarak alınmalıdır.