ABCD dörtgeninde K noktası açıortaylarının kesim noktası olduğuna göre pembe renkli açıların ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Dörtgende İç Açıortaylar ve Açılar Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ, bir üçgenin iç açıları toplamı ise 180^\circ’dir. Köşelerden çizilen iç açıortayların oluşturduğu karşılıklı üçgenlerin tepe açıları toplamı, daima dörtgenin iç açıları toplamının yarısına (180^\circ) eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Dörtgenin Köşe Açılarını Harflendirme
ABCD dörtgeninde K noktası iç açıortayların kesim noktası olduğuna göre köşe açılarını ikişer eşit parçaya bölelim:
- m(\widehat{DAB}) = 2a \implies m(\widehat{KAB}) = m(\widehat{KAD}) = a
- m(\widehat{ABC}) = 2b \implies m(\widehat{KBA}) = m(\widehat{KBC}) = b
- m(\widehat{BCD}) = 2c \implies m(\widehat{KCB}) = m(\widehat{KCD}) = c
- m(\widehat{CDA}) = 2d \implies m(\widehat{KDC}) = m(\widehat{KDA}) = d
Dörtgenin iç açıları toplamından:
2a + 2b + 2c + 2d = 360^\circ \implies a + b + c + d = 180^\circ
Adım 2 — Pembe Renkli Açıların Toplamını Bulma
Şekilde pembe renk ile gösterilen açılar, karşılıklı iki üçgenin tepe açıları olan \widehat{AKB} ve \widehat{CKD} açılarıdır:
- ABK üçgeninde iç açılar toplamından:
m(\widehat{AKB}) = 180^\circ - (a + b)
- CDK üçgeninde iç açılar toplamından:
m(\widehat{CKD}) = 180^\circ - (c + d)
Bu iki açının ölçüleri toplamı:
m(\widehat{AKB}) + m(\widehat{CKD}) = [180^\circ - (a + b)] + [180^\circ - (c + d)]
m(\widehat{AKB}) + m(\widehat{CKD}) = 360^\circ - (a + b + c + d)
a + b + c + d = 180^\circ değerini yerine yazarsak:
360^\circ - 180^\circ = 180^\circ
CEVAP: 180^\circ (m(\widehat{AKB}) + m(\widehat{CKD}) = 180^\circ)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir dörtgende dört köşeden çıkan açıortaylar tek bir noktada kesiştiğinde, karşılıklı açıortay çiftlerinin arasında kalan açıların toplamı (hem \widehat{AKB} + \widehat{CKD} hem de \widehat{AKD} + \widehat{BKC}) her zaman daima 180^\circ olur. Bu tip sorularda özel açı değerlerine gerek kalmadan doğrudan toplamın 180^\circ olduğunu kullanabilirsiniz.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Açıortayların ayırdığı açılara a, b, c, d dersek:
-
Dörtgenin iç açıları toplamı:
2a + 2b + 2c + 2d = 360^\circ \implies a + b + c + d = 180^\circ -
Pembe renkli açıların toplamı:
(180^\circ - a - b) + (180^\circ - c - d) = 360^\circ - (a + b + c + d)360^\circ - 180^\circ = \mathbf{180^\circ}
Cevap: 180°