ABCD dörtgen
[CE] ve [DE] açıortay
m(widehat{BAD}) = 6x
m(widehat{CBA}) = 4x
m(widehat{DEC}) = 75^{irc}
Yukarıdaki verilere göre, m(widehat{ABC}) = 4x kaç derecedir?
A) 55
B) 60
C) 65
D) 70
E) 75
Dörtgende Komşu İki Açının Açıortayı Arasındaki Açı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir dörtgende ardışık (komşu) iki iç açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir:
m(\widehat{DEC}) = \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dörtgende Açıortay Bağıntısını Uygulama
[DE] ve [CE] açıortaylarının oluşturduğu \widehat{DEC} açısının ölçüsü, A ve B köşelerindeki açıların toplamının yarısıdır:
75^\circ = \frac{6x + 4x}{2}
Adım 2 — x Değerini Bulma
Denklemdeki pay kısmını toplayıp sadeleştirelim:
75^\circ = \frac{10x}{2}
75^\circ = 5x
x = \frac{75^\circ}{5} = 15^\circ
(Alternatif İspat Mantığı: DEC üçgeninde iç açılar toplamından \frac{m(\widehat{D})}{2} + \frac{m(\widehat{C})}{2} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ bulunur. Buradan m(\widehat{D}) + m(\widehat{C}) = 210^\circ olur. Dörtgenin iç açıları toplamı 360^\circ olduğundan 6x + 4x + 210^\circ = 360^\circ \implies 10x = 150^\circ \implies x = 15^\circ elde edilir.)
Adım 3 — İstenen m(\widehat{ABC}) Açısını Hesaplama
Soruda bizden m(\widehat{ABC}) = 4x değeri istenmektedir:
m(\widehat{ABC}) = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Komşu Açıortaylar Bağıntısı: Bir dörtgende yan yana iki açının iç açıortaylarının kesişimiyle oluşan açı, tabandaki açıların aritmetik ortalamasıdır.
- Dörtgenin İç Açılar Toplamı: Herhangi bir dışbükey (konveks) dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı daima 360^\circ’dir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: x değerini bulduktan sonra doğrudan x = 15^\circ’yi işaretlemek ya da 6x ile 4x’i karıştırmak.- Doğru Yaklaşım: Soruda bizden istenen ifadenin x mi yoksa 4x mi olduğuna dikkat etmek (4x = 60^\circ).
Karşılıklı iki açının açıortaylarının kesiştiği durumla ilgili pekiştirici bir soru çözmek ister misin?