abcd dört basamaklı; ab ve cd iki basamaklı doğal
sayılar olmak üzere, bir reklam ajansı, bir müşterisinin
siparişi üzerine 3D yazicı kullanarak toplam abcd adet
promosyon anahtarlık üretmiştir. Ajans, sevkiyat süreci
için iki farklı paketleme seçeneğini değerlendirmektedir.
Küçük Paketleme: Anahtarlıklar her pakette ab adet
olacak şękilde hazırlandiğında tam 103 paket oluşmakta
ve hiç anlahtarlik artmamaktadır.
A) 12
Büyük Kutulama: Aynı miktardaki anahtarlıklar her
kutuda cd adet olacak şekilde yerleştirildiğinde 34 kutu
dolmakta ve 31 adet anahtarlık açikta kalmaktadır.
6Buna göre, ajansın ürettiği anahtarlik sayısını oluş-
turan abcd sayısının rakamlari toplami kaçtır?
B) 14 C) 151 16
E) 18
7. Üçge
mak
edile
Örne
Dört Basamaklı abcd Sayısının Rakamları Toplamı
KULLANILAN KURAL VE BAĞINTILAR:
- Dört basamaklı bir sayının blok basamak çözümlemesi: abcd = 100 \cdot (ab) + cd
- Bölme algoritması: \text{Bölünen} = (\text{Bölen} \times \text{Bölüm}) + \text{Kalan} \quad (\text{Kalan} < \text{Bölen})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Küçük Paketleme Koşulunu İfade Etme
- Toplam anahtarlık sayısı abcd’dir.
- Her pakette ab adet varken tam 103 paket oluştuğuna ve hiç artan olmadığına göre:
abcd = 103 \cdot (ab)
Adım 2 — Blok Çözümleme ile ab ve cd Arasındaki İlişkiyi Bulma
- abcd sayısını ab ve cd iki basamaklı sayıları cinsinden çözümleyelim:
abcd = 100 \cdot (ab) + cd
- Birinci adımdaki eşitliği yerine yazalım:
100 \cdot (ab) + cd = 103 \cdot (ab)
cd = 103 \cdot (ab) - 100 \cdot (ab)
cd = 3 \cdot (ab)
Adım 3 — Büyük Kutulama Koşulunu Uygulama
- Anahtarlıklar her kutuda cd adet olacak şekilde yerleştirildiğinde 34 kutu dolmakta ve 31 anahtarlık artmaktadır (burada bölme kuralı gereği cd > 31 olmalıdır):
abcd = 34 \cdot (cd) + 31
- cd yerine 3 \cdot (ab) yazalım:
abcd = 34 \cdot (3 \cdot (ab)) + 31
abcd = 102 \cdot (ab) + 31
Adım 4 — ab ve cd Sayılarını Hesaplama
- Adım 1 ve Adım 3’teki iki abcd ifadesini birbirine eşitleyelim:
103 \cdot (ab) = 102 \cdot (ab) + 31
103 \cdot (ab) - 102 \cdot (ab) = 31
ab = 31
- Buradan a = 3 ve b = 1 bulunur.
- Şimdi cd sayısını hesaplayalım:
cd = 3 \cdot (ab) = 3 \cdot 31 = 93
- Buradan c = 9 ve d = 3 bulunur (93 > 31 koşulu da sağlanır).
Adım 5 — Rakamlar Toplamını Bulma
- Dört basamaklı sayı abcd = 3193’tür.
- Rakamları toplamı:
a + b + c + d = 3 + 1 + 9 + 3 = 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 16 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Blok Çözümleme
- Tanım: Çok basamaklı sayıları tek tek basamaklarına ayırmak yerine belirli bloklar (ikişerli, üçerli) halinde çözümleme yöntemidir.
- Bu problemde: abcd = 1000a + 100b + 10c + d yerine abcd = 100 \cdot (ab) + cd yazılarak işlem adımları büyük ölçüde sadeleştirilmiştir.
2. Bölme ve Kalan İlişkisi
- Tanım: Bir bölme işleminde kalan her zaman bölenden küçük olmak zorundadır (0 \le K < B).
- Bu problemde: Artan anahtarlık sayısı 31 olduğundan, her kutudaki anahtarlık sayısı olan cd > 31 şartı denetlenmiş ve 93 > 31 olduğu teyit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Basamakları Tek Tek Açmak
- Yanlış: 1000a + 100b + 10c + d = 103(10a + b) şeklinde tüm harfleri tek tek dağıtıp karmaşık denklemlerle vakit kaybetmek.
- Doğru: İki basamaklı ab ifadesini tek bir değişken gibi düşünerek 100 \cdot (ab) + cd şeklinde blok çözümleme yapmak.
- Neden yanlış: Çözümü gereksiz yere uzatır ve işlem hatası yapma riskini artırır.
Bu tarz basamak kavramı ve bölme problemlerini pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?