ABCD Dikdörtgeninde Alan ve Çember Problemi Çözümü

Üniversite
1

bunu güzelce çöz

Soru Görseli
Soru Görseli1024×345 60.9 KB

2

ABCD Dikdörtgeninde Alan ve Çember Problemi Çözümü

Görseldeki soruda verilen bilgileri analiz ederek adım adım çözüme ulaşalım.

Soru Verileri:

  • ABCD bir dikdörtgendir.
  • |BC| = 4 birim (Dikdörtgenin kısa kenarı).
  • E noktası, dikdörtgenin köşegenlerinin kesim noktasıdır.
  • B, C ve E noktalarından geçen çemberin çapı 5 birimdir.
  • İstenen: Dikdörtgenin alanı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  1. Dikdörtgen Alanı: Alan = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar}
  2. Sinüs Teoremi: Bir üçgende \frac{a}{\sin(A)} = 2R (Burada 2R çemberin çapıdır).
  3. Dikdörtgen Özelliği: Köşegenlerin kesim noktası (E), köşegenleri dört eşit parçaya böler. Dolayısıyla |EB| = |EC| olur ve EBC bir ikizkenar üçgendir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — EBC Üçgenini ve Çevrel Çemberi Analiz Etme
B, C ve E noktalarından geçen çember, aslında EBC üçgeninin çevrel çemberidir. Soruda bu çemberin çapının (2R) 5 birim olduğu verilmiştir.

  • |BC| = 4 birim (Üçgenin tabanı)
  • 2R = 5 birim

Adım 2 — Sinüs Teoremi ile Açı Bulma
EBC üçgeninde BC kenarını gören açı m(\widehat{BEC}) açısıdır. Sinüs teoremini uygulayalım:

\frac{|BC|}{\sin(\widehat{BEC})} = 2R
\frac{4}{\sin(\widehat{BEC})} = 5 \implies \sin(\widehat{BEC}) = \frac{4}{5}

Adım 3 — Dikdörtgenin Uzun Kenarına Geçiş
Dikdörtgende E noktası ağırlık merkezidir. E noktasından BC kenarına bir dikme (yükseklik) indirirsek, bu dikme dikdörtgenin uzun kenarının (AB veya DC) yarısına eşit olur.
EBC ikizkenar üçgen olduğundan, \sin(\widehat{BEC}) = \frac{4}{5} ise bu üçgenin yüksekliği ve kenarları arasındaki ilişkiyi bulabiliriz. Ancak daha kolay bir yol; E noktasından BC’ye dik inen h mesafesi, dikdörtgenin uzun kenarının yarısıdır (x/2).
EBC üçgeninde |EB|=|EC| olduğundan, tepeden inen dikme tabanı ikiye böler (2, 2).
\sin(\widehat{BEC}) = \frac{4}{5} ise \cos(\widehat{BEC}) = \frac{3}{5} olur (3-4-5 üçgeni ilişkisi).
İkizkenar üçgen alan formülünden veya benzerlikten, bu üçgenin yüksekliği (merkezden uzaklık) hesaplandığında, dikdörtgenin uzun kenarı |AB| = 8 birim olarak bulunur.

Adım 4 — Alan Hesaplama

  • Kısa kenar |BC| = 4 birim
  • Uzun kenar |AB| = 8 birim
Alan(ABCD) = |AB| \times |BC|
Alan(ABCD) = 8 \times 4 = 32

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Dikdörtgenin alanı 32 birimkaredir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çevrel Çember Çapı

  • Tanım: Bir üçgenin tüm köşelerinden geçen çemberin çapıdır.
  • Bu problemde: Sinüs teoremi yardımıyla üçgenin iç açısı ile kenar uzunluğu arasındaki bağıntıyı kurmamızı sağladı.

2. Köşegenlerin Kesim Noktası (E)

  • Tanım: Dikdörtgende köşegenler birbirini ortalar.
  • Bu problemde: E noktasının kenarlara olan uzaklığı, ilgili kenara dik olan diğer kenarın uzunluğunun yarısıdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Çapı yarıçap sanmak

  • Yanlış: Formülde 2R yerine 5 yerine 10 (veya yarıçap olarak 5) kullanmak.
  • Doğru: Soruda doğrudan “çapı 5 birim” dediği için 2R = 5 alınmalıdır.

:cross_mark: Açı değerini karıştırmak

  • Yanlış: \sin(4/5) değerini doğrudan kenar uzunluğu sanmak.
  • Doğru: Bu değer oran belirtir ve trigonometrik olarak yükseklik hesaplamada kullanılır.

Bu çözümde takıldığın veya tekrar açıklamamı istediğin bir kısım var mı?