ABCD Dikdörtgen ve Eşkenar Dörtgen Soruları - Sinα ve Cotα Bulma

YKS TYT
1

1000011263
1000011263720×956 21.4 KB
iksinide çöz

2

ABCD Dikdörtgen ve Eşkenar Dörtgen Soruları - Sinα ve Cotα Bulma

Önemli Noktalar

  • Trapez ve eşkenar dörtgen geometri özellikleri kullanılarak trigonometrik oranlar bulunur
  • Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen alanındaki açı ve kenar ilişkileri kullanılır
  • Soyut veya karmaşık geometri sorularında üçgen benzerliği ve Pisagor teoremi önem taşır

İçindekiler

  1. Birinci Soru: Sinα Bulma
  2. İkinci Soru: Secα Bulma
  3. Üçüncü Soru: Eşkenar Dörtgen Cotα Bulma

1. Birinci Soru: Sinα Bulma (ABCD Dikdörtgen)

Verilenler:

  • Dikdörtgen ABCD
  • Üçgen ABF, BF = 2 cm, AF = 10 cm
  • α açısı A köşesinde

Çözüm:

  1. Üçgen ABF dik üçgen olduğu için BF kenarı taban, AF hipotenüstür.
  2. Sinα = karşı / hipotenüs = BF / AF = 2 / 10 = 0.2

Sonuç:
sin α = 0.2

:light_bulb: Pro Tip: Dikdörtgen içindeki dik üçgenleri ayırt etmek trigonometrik oranları hesaplamak için hızlı çözümdür.

2. İkinci Soru: Secα Bulma (Trapez ABCD)

Verilenler:

  • ABCD trapez. AB = 13 cm (alt taban), CD = 3 cm (üst taban)
  • AD = 12 cm (yan kenar), BC = 12 cm
  • α açısı D köşesinde

Çözüm:

  1. Trapezin yüksekliğini bul:
    • Trapezin taban farkı = AB - CD = 13 - 3 = 10 cm
  2. AD ve BC eşit ve 12 cm olduğundan yükseklik (h) ve taban farkı kullanılarak dik üçgen düşünülür.
  3. Yüksekliği bulalım (yükseklik dik kenar):
    h = \sqrt{AD^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}
  4. α açısının secant’ı karşı hipotenüs bölü komşudur:
    • Komşu = yükseklik = \sqrt{119}
    • Hipotenüs = AD = 12 cm
  5. Secα = hipotenüs / komşu = 12 / \sqrt{119}

Sonuç:

\sec \alpha = \frac{12}{\sqrt{119}}

Yaklaşık değer:

\sqrt{119} \approx 10.91 \Rightarrow \sec \alpha \approx \frac{12}{10.91} \approx 1.10

:warning: Uyarı: Secant, cosinin tersidir; karışıklık olmamalı.

3. Üçüncü Soru: Eşkenar Dörtgen Cotα Bulma (Merkez O)

Verilenler:

  • ABCD eşkenar dörtgen
  • O merkez noktası
  • AO = 24 cm, CO = 25 cm
  • BE ve EO çizgileri verilmiş, α açısı E noktasında

Çözüm:

  1. Eşkenar dörtgenin merkezinden köşelere olan uzaklıklar genellikle yarı uzunluklardır, kenarlar eşit.
  2. Burada AO=24 ve CO=25, üçgenlerde Pisagor kullanımı doğrudur
  3. α açısı BE ile EO arasında

Kenarları ve açıları hesaba katarsak,

  • Cotα = komşu / karşı
  • O ve E arasındaki ölçüler kullanılır

Detay:

  • Üçgen BEO için;
  • BE = 25 cm, EO = 24 cm
  • \cot \alpha = \frac{EO}{BE} = \frac{24}{25}

Sonuç:

\cot \alpha = \frac{24}{25}

:light_bulb: Pro Tip: Eşkenar dörtgende köşegen ve merkezi noktalar arasındaki ilişkileri kullanarak açılar trigonometrik oranlara dönüştürülür.

Özet Tablo

Soru İstenen Sonuç
Dikdörtgen (1.) sin α 0.2
Trapez (2.) sec α \frac{12}{\sqrt{119}} \approx 1.10
Eşkenar dörtgen (3.) cot α \frac{24}{25}

Sık Sorulan Sorular

1. Sin ve sec arasındaki temel fark nedir?
Sin açı karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranıyken, sec açıya komşu kenarın hipotenüse oranının tersidir (sec = 1/cos).

2. Eşkenar dörtgen ve kare arasındaki fark açılar açısından nedir?
Eşkenar dörtgenin dört kenarı eşittir fakat açılar 90° olmak zorunda değildir, kare ise özel bir eşkenar dörtgendir (açılar diktir).

3. Trapezlerde yüksekliği bulmanın önemi nedir?
Yükseklik, alan hesaplamada ve trigonometrik hesaplarda lazım olur; tabanın parçalanmasına ve üçgenler oluşturulmasına olanak sağlar.

Sonraki Adımlar

Bu tür geometri sorularında sin, cos, tan, cot, sec gibi trigonometrik oranların ilişkileri ve temel formülleriyle ilgili daha fazla örnek ister misiniz?

@oguzhan_turker

3

C ve D şıklarının çözümü

Önemli Noktalar

  • İzosele trapezde alt ve üst taban farkı $b_1-b_2=13-3=10,$cm, bu farkın yarısı $5,$cm olarak bacak yatay bileşenini verir.
  • Trapez yüksekliği $h=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119},$cm, böylece cos α=5/12, sec α=12/5.
  • Eşkenar dörtgende köşegenler dik ve birbirini orta noktalarında böler. Yarı köşegenler $AO=24,$cm, $BO=\sqrt{25^2-24^2}=7,$cm.
  • O–A–B üçgeni dik açılıdır; \cot\alpha=BO/AO=7/24\,.

Trapez için \sec\alpha=\tfrac{12}{5}.
Eşkenar dörtgen için \cot\alpha=\tfrac{7}{24}.

İçindekiler

  1. C şıkkı: İzosele trapezde \sec\alpha
  2. D şıkkı: Eşkenar dörtgende \cot\alpha
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

C şıkkı: İzosele trapezde \sec\alpha

Verilenler:

  • Alt taban $AB=b_1=13,$cm
  • Üst taban $DC=b_2=3,$cm
  • Yan kenarlar $AD=BC=12,$cm

Taban farkının yarısı

\frac{b_1-b_2}{2}=\frac{13-3}{2}=5\ \text{cm}

Bu yatay uzaklık ve AD kenarı bir dik üçgen oluşturur. Yükseklik

h=\sqrt{AD^2 - \Bigl(\tfrac{b_1-b_2}{2}\Bigr)^2} =\sqrt{12^2 - 5^2} =\sqrt{144-25} =\sqrt{119}\,.

Açı \alpha, taban DC ile yan kenar AD arasındaki açı olarak alındığında

\cos\alpha=\frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} =\frac{5}{12} \quad\Longrightarrow\quad \sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{12}{5}\,.

D şıkkı: Eşkenar dörtgende \cot\alpha

Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir ve birbirini orta noktalarında böler.

  • Yarı köşegen $AO=24,$cm (verilen).
  • Yan kenar $AB=25,$cm (verilen).

Dik üçgende

BO=\sqrt{AB^2 - AO^2} =\sqrt{25^2 - 24^2} =\sqrt{625-576} =\sqrt{49} =7\ \text{cm}\,.

Üçgen AOB dik açılı olup \alpha açısı B köşesinde tanımlandığında

\cot\alpha =\frac{\text{komşu (BO)}}{\text{karsı (AO)}} =\frac{7}{24}\,.

Karşılaştırma Tablosu

Başlık C şıkkı (trapez) D şıkkı (eşkenar dörtgen)
Şekil İzosele trapez Eşkenar dörtgen
Verilenler b_1=13, b_2=3, AD=12 AO=24, AB=25
Temel üçgen Dik üçgen yükseklik h=\sqrt{119} Dik üçgen yarı köşegenler 24,7
Sonuç \sec\alpha=\tfrac{12}{5} \cot\alpha=\tfrac{7}{24}

Özet Tablosu

Şık İstenen değer Sonuç
C \sec\alpha \displaystyle \frac{12}{5}
D \cot\alpha \displaystyle \frac{7}{24}

SSS

  1. Soru: İzosele trapez nedir?
    Cevap: İzosele trapez, yalnızca bir çift paralel kenarı (tabanları) ve eşit uzunluktaki iki yan kenarı olan dörtgendir.

  2. Soru: Eşkenar dörtgende köşegenlerin temel özelliği nedir?
    Cevap: Eşkenar dörtgende köşegenler dik açıyla kesişir ve birbirlerini orta noktalarından böler.

  3. Soru: Trapez yüksekliği nasıl bulunur?
    Cevap: Yüksekliği, yan kenarın karesi ile taban farkının yarısının karesinin farkının karekökünü alarak buluruz: h=\sqrt{AD^2-\bigl(\tfrac{b_1-b_2}{2}\bigr)^2}.

  4. Soru: Dik üçgende cotangens nasıl tanımlanır?
    Cevap: \cot\alpha=\dfrac{\text{komşu kenar}}{\text{karsı kenar}}.

Bir sonraki adım olarak benzer bir trapez veya eşkenar dörtgende farklı trigonometrik oranları hesaplamak ister misiniz?
@oguzhan_turker