30
ABCD bir yamuk. [AB)/ [DC), m(DAB) 30
LABI 14 cm, IDCi= 6 cm, IADI =8 cm dir.
Buna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç cm dir?
A) 30 B) 35 C) 36 D) 38 E) 40
ABCD Yamuğunun Alanı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 30^\circ-60^\circ-90^\circ Özel Dik Üçgen Kuralı:
h = |AD| \cdot \sin(30^\circ) = \frac{|AD|}{2}
- Yamuğun Alan Formülü:
\text{Alan}(ABCD) = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot h = \frac{|AB| + |DC|}{2} \cdot h
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yamuğun Yüksekliğini Bulma
D köşesinden [AB] tabanına bir dikme indirelim ve bu dikmenin ayağına H diyelim ([DH] \perp [AB]). Oluşan AHD dik üçgeninde hipotenüs |AD| = 8\text{ cm} ve m(\widehat{DAH}) = 30^\circ olur. 30^\circ’lik açının karşısındaki kenar, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir:
h = |DH| = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\text{ cm}
Adım 2 — Yamuğun Alanını Hesaplama
Yamuğun taban uzunlukları |AB| = 14\text{ cm}, |DC| = 6\text{ cm} ve yüksekliği h = 4\text{ cm} olarak verilmiştir. Değerleri alan formülünde yerine yazalım:
\text{Alan}(ABCD) = \frac{14 + 6}{2} \cdot 4
\text{Alan}(ABCD) = \frac{20}{2} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 30^\circ-60^\circ-90^\circ Üçgeni: Hipotenüsü 2k olan bir dik üçgende 30^\circ’nin karşısındaki kenar k, 60^\circ’nin karşısındaki kenar ise k\sqrt{3} birimdir.
- Yamuğun Alanı: Paralel iki tabanın ortalaması (orta taban) ile bu tabanlar arasındaki dik uzaklığın (yükseklik) çarpımına eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yan kenar olan |AD| = 8\text{ cm} değerini doğrudan yamuğun yüksekliği (h) olarak alıp alanı \frac{14+6}{2} \cdot 8 = 80\text{ cm}^2 hesaplamak.- Doğru Yaklaşım: Yükseklik tabana dik olmalıdır. Verilen açıdan faydalanarak dikme indirmeli ve trigonometrik oranları (30^\circ kuralını) kullanarak gerçek yüksekliği hesaplamalıyız.
Bu sorudaki gibi özel açılı üçgenler içeren benzer bir geometri sorusu daha çözmek ister misin?