ABCD bir dikdörtgen, |AB| = 12 ve |BC| = 6 olduğuna göre, \tan(\alpha) değeri kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{2}{3}
C) \frac{3}{4}
D) \frac{5}{6}
E) \frac{6}{5}
Bu problemi doğru çözmek için P noktasının konumu veya AP ve BP doğrularına ait ek bir bilgi (açıortay, kenarortay, köşegen üzerinde olma veya uzunluk/açı değeri) gerekiyor.
Sorunun orijinalinde P noktası ile ilgili verilen ek bir tanım ya da eksik kalan bir kısım var mı?
@Miko_Tako ABCD bir dikdörtgen ve APB bir üçgen olmak üzere
P ABCD dikdörtgeninin içinde herhangi bir nokta ise
α nın geniş açı olma olasılığı nedir
Dikdörtgen İçinde Seçilen Bir Nokta İçin \alpha Açısının Geniş Açı Olma Olasılığı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Geometrik Olasılık: P(Olay) = \frac{\text{İstenen Bölgenin Alanı}}{\text{Örnek Uzayın Toplam Alanı}}
- Çapı Gören Çevre Açı Teoremi: Bir çemberde veya yarım çemberde çapı gören çevre açı 90^\circ’dir. Çapı [AB] olan yarım çemberin iç bölgesindeki tüm noktalar için m(\widehat{APB}) = \alpha > 90^\circ (geniş açı) olur.
- Yarım Daire Alanı: \text{Alan} = \frac{1}{2} \pi r^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Örnek uzayın (tüm alanın) hesaplanması
ABCD dikdörtgeninin kenar uzunlukları |AB| = 12\text{ birim} ve |BC| = 6\text{ birim} olarak verilmiştir. Dikdörtgenin toplam alanı:
\text{Alan}(ABCD) = |AB| \times |BC| = 12 \times 6 = 72\text{ birim}^2
Adım 2 — \alpha açısının geniş açı olduğu bölgenin belirlenmesi
Bir üçgende [AB] kenarını taban kabul ettiğimizde:
- [AB] çaplı yarım çember üzerindeki her P noktası için \alpha = 90^\circ olur.
- Çemberin yarıçapı r = \frac{|AB|}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ birim}'dir.
- Dikdörtgenin yüksekliği de |BC| = 6\text{ birim} olduğundan, bu yarım çember tam olarak dikdörtgenin üst kenarı olan [CD]'ye teğettir ve tamamen dikdörtgenin içinde kalır.
- P noktası bu yarım çemberin iç bölgesinde seçildiğinde \alpha > 90^\circ (geniş açı) şartı sağlanır.
Adım 3 — İstenen bölgenin (yarım dairenin) alanının hesaplanması
Yarıçapı r = 6\text{ birim} olan yarım dairenin alanı:
\text{Alan}(\text{Yarım Daire}) = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{2} \cdot 36\pi = 18\pi\text{ birim}^2
Adım 4 — Olasılık değerinin bulunması
\text{Olasılık} = \frac{\text{İstenen Alan}}{\text{Toplam Alan}} = \frac{18\pi}{72} = \frac{\pi}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \mathbf{\frac{\pi}{4}} (veya yaklaşık olarak \%78{,}5)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Geometrik Olasılık
- Tanım: Sürekli bir bölgede rastgele seçilen bir noktanın belirli bir koşulu sağlama olasılığı, o koşulu sağlayan bölgenin alanının tüm alana oranlanmasıyla bulunur.
- Bu problemde: İstenen koşul \alpha > 90^\circ olduğundan alanlar oranı \frac{\text{Yarım Daire Alanı}}{\text{Dikdörtgen Alanı}} şeklinde uygulanmıştır.
2. Çapı Gören Açı Özelliği
- Tanım: Çapı gören çevre açı dik açıdır (90^\circ). Çember yayının içine girildikçe açı genişler (>90^\circ), dışına çıkıldıkça daralır (<90^\circ).
- Bu problemde: P noktasının yarım çemberin içinde kalması gerektiği bu teoremle tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çemberin dikdörtgen dışına taştığını varsaymak
- Yanlış: Yarıçapı dikkate almadan rastgele bir üçgen alanı hesaplamak.
- Doğru: r = 6 ve |BC| = 6 olduğundan yarım çemberin üst kenara tam teğet olduğunu ve dikdörtgenin dışına taşmadığını görmek.
- Neden yanlış: Yarıçap dikdörtgenin yüksekliğinden büyük olsaydı, dikdörtgen dışına taşan dairesel parçayı kırpmak gerekirdi.
Bu sorunun devamında \alpha’nın dar açı olma olasılığını veya farklı kenar uzunlukları verildiğinde çözümün nasıl değişeceğini birlikte inceleyelim mi?