ABC ve EDC üçgen, m(DBC) = 70°, m(BCE) = 30° Şekilde E noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası olduğuna

Question Answer
1

B
A70
30
ABC ve EDC üçgen, m(DBC) = 70°, m(BCE) = 30°
Gevresi
(x+3)
2
6
Şekilde E noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim
noktası olduğuna göre, m(BAC) = a kaç derecedir?

B A70 30 ABC ve EDC üçgen, m(DBC) = 70°, m(BCE) = 30° Gevresi (x+3) 2 6 Şekilde E...
B A70 30 ABC ve EDC üçgen, m(DBC) = 70°, m(BCE) = 30° Gevresi (x+3) 2 6 Şekilde E...800×996 60.2 KB

2

Üçgende Yüksekliklerin Kesim Noktası (Diklik Merkezi) ve Açı Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir üçgende yüksekliklerin kesim noktasına diklik merkezi (ortosantr) denir.
  • Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir. Bir köşeden diklik merkezine çizilen doğru, karşı kenara (veya uzantısına) diktir:
    E \text{ diklik merkezi ise; } BD \perp AC \text{ ve } CE \perp AB
  • Dik üçgende dar açıların toplamı 90^\circ’dir:
    \alpha + \beta = 90^\circ

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — BD \perp AC Dikliğini Belirleme ve \widehat{C} Açısını Bulma
E noktası ABC üçgeninin diklik merkezi olduğundan, B köşesinden çıkıp E’den geçen BD doğrusu AC kenarına dik olmak zorundadır.

m(\widehat{BDC}) = 90^\circ

BDC dik üçgeninde iç açılar toplamından:

m(\widehat{DCB}) = 90^\circ - m(\widehat{DBC})
m(\widehat{DCB}) = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ

Adım 2 — \widehat{ACE} Açısının Tamamını Hesaplama
Şekilde C köşesindeki açılar komşu olduğundan m(\widehat{ACE}) açısı bu iki açının toplamıdır:

m(\widehat{ACE}) = m(\widehat{DCB}) + m(\widehat{BCE})
m(\widehat{ACE}) = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ

Adım 3 — CE \perp AB Dikliğini Kullanarak \alpha Açısını Bulma
E noktası diklik merkezi olduğundan, C köşesinden E’ye çizilen doğru AB kenarının uzantısına diktir. CE doğrusunun AB uzantısını kestiği noktaya H dersek:

CH \perp AB \implies m(\widehat{AHC}) = 90^\circ

Böylece AHC bir dik üçgen olur. Bu dik üçgende dar açılar toplamı 90^\circ olduğundan:

m(\widehat{HAC}) + m(\widehat{ACH}) = 90^\circ
\alpha + 50^\circ = 90^\circ
\alpha = 40^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
\alpha = 40^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Diklik Merkezi (Ortosantr): Bir üçgenin üç yüksekliğinin kesiştiği noktadır. Geniş açılı üçgenlerde geniş açının bulunduğu köşenin arkasında, üçgenin dışındadır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: E noktasını iç teğet çemberin merkezi veya ağırlık merkezi ile karıştırıp açıortay ya da kenarortay kurallarını uygulamak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: “Yüksekliklerin kesim noktası” dendiğinde köşelerden bu noktaya uzatılan tüm doğruların karşı kenarlara dik (90^\circ) indiğini kullanmak.

Diklik merkezi ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?