ABC ve EBD dik IEKI = KDI IAEl =3 br

Maths Question
1

birimkaredir?
A) 18
B) 12
ABC ve EBD dik
C) 9
0çgenler
(AB) L (BD
Yukarıdaki verilere göre, boyalı alanlar toplamı kaç
IEKI = |KDI
IAEl =3 br
IBC| = 6 br
D) 6
E) 4

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli917×800 37.8 KB

2

Yukarıdaki verilere göre, boyalı alanlar toplamı kaç birimkaredir?

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Verilenleri anlama

  • ABC ve EBD dik üçgenler.
  • [AB] ⊥ [BD] kenarları dik.
  • IEKI = IKDI (yani IK = IK, K noktasında iki eşit parça var).
  • IAE = 3 br (AE=3 br verilmiş).
  • IBCI = 6 br (BC=6 br verilmiş).
  • BK ve KC bilinmiyor ama BC=6 br.
  • Şekilde, IE=IK ve IK=KD gibi birim işaretleri var, yani IE = KD ve IE=IK.

Adım 2 — Üçgenlere ait alanları hesaplamak

  • ABC üçgeni dik ve tabanı BC=6 br.
  • AE=3 br yüksekliği (AB üzerinde AE=3 br verilmiş).
  • IEKI = |KDI| = 3 br ifadesi, muhtemelen yanlış okunmuş. Sorudan anlaşıldığı üzere IE = KD ve AE=3 br.

Adım 3 — Alanı bulma

  • Boyalı alanlar IEK ve KDI üçgenleri.
  • IEK üçgeninin tabanı IE ve yüksekliği KE.
  • KDI üçgeni için aynı benzerlik geçerli.

Adım 4 — Alan hesaplama

  • IE=KD olduğuna göre, kenarlar eşit.
  • AE=3 br ve BC=6 br.
  • ABC dik üçgendir; alanı: (BC \times AE)/2 = (6 \times 3)/2 = 9 birimkaredir.
  • Boyalı alanlar IEK (solda) ve KDI (sağda) üçgenleri.
  • Bu üçgenlerin her biri ABC’nin yarısıdır, çünkü IE=KD ve K noktası eşit bölüyorsa.

Adım 5 — Sonuç

  • Boyanan 2 üçgen alanı toplamı = ABC üçgeninin alanı = 9 birimkaredir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: C) 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Üçgen alanı formülü: Alan = (Taban × Yükseklik) / 2
  • Dik üçgen: Dik kenarlar birbirine diktir, alan kolayca hesaplanır.
  • Alan eşitliği: Kenar uzunluklarına göre alan oranları eşitleme.

Başka bir konuda yardımcı olmamı ister misin? :rocket:

3

Yukarıdaki verilere göre, boyalı alanlar toplamı kaç birimkaredir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üçgen alanı: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{taban}\cdot \text{yükseklik}
  • Orta nokta koordinatları: orta nokta (x_m,y_m)=\big(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\big)
  • Dik koordinat yöntemi (nokta atama ile geometriyi cebire çevirme)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinatları belirle
Problemi kolaylaştırmak için B noktasını orijine koy ve eksenleri şöyle al:

B=(0,0)

C=(6,0) çünkü BC = 6

A=(0,h) olsun, böylece E noktası A ile B arasında ve AE = 3 olduğundan:

E=(0,h-3)

D=(d,0) olsun (bilinmeyen)

K noktası AC ile ED kesişimi ve verilene göre EK = KD, yani K segmenti ED nin orta noktasıdır. Bu nedenle:

K’nın koordinatları orta nokta formülünden:

K=\Big(\dfrac{0+d}{2},\dfrac{h-3+0}{2}\Big)
K=\Big(\dfrac{d}{2},\dfrac{h-3}{2}\Big)

Adım 2 — K noktasının aynı zamanda AC üzerinde olması şartını cebirsel olarak yaz

AC doğrusu, A(0,h) ile C(6,0) üzerinden geçtiğinden eğimi m_{AC}=\dfrac{0-h}{6-0}=-\dfrac{h}{6} ve doğrusu:

y=h-\dfrac{h}{6}x

K noktasının x-koordinatı x=\dfrac{d}{2} olduğuna göre y-koordinat eşitliğini yaz:

\text{Kurulum: } y_K=h-\dfrac{h}{6}\cdot \dfrac{d}{2}
\text{Ayrıca } y_K=\dfrac{h-3}{2}

Bu iki ifadeyi eşitle:

\dfrac{h-3}{2}=h-\dfrac{h}{6}\cdot \dfrac{d}{2}

Şimdi denklemi çözelim:

\dfrac{h-3}{2}=h-\dfrac{h d}{12}
h-3=2h-\dfrac{h d}{6}
-h-3=-\dfrac{h d}{6}
\dfrac{h d}{6}=h+3
h d=6(h+3)
h d=6h+18
h(d-6)=18

Adım 3 — Boyalı alanları koordinatlara göre yaz
Boyalı alanlar: sol taraftaki üçgen AEK ve sağ taraftaki üçgen KCD.

Birinci terim: Sol üçgen AEK

Taban olarak AE=3 al ve yüksekliği K noktasının x-kordinatı olan \dfrac{d}{2} olarak kullan.

\text{Alan}(AEK)=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \dfrac{d}{2}
\text{Alan}(AEK)=\dfrac{3d}{4}

İkinci terim: Sağ üçgen KCD

Taban olarak CD=d-6 al ve yüksekliği K noktasının y-kordinatı \dfrac{h-3}{2} olarak kullan.

\text{Alan}(KCD)=\dfrac{1}{2}\cdot (d-6)\cdot \dfrac{h-3}{2}
\text{Alan}(KCD)=\dfrac{(d-6)(h-3)}{4}

Adım 4 — Toplam alanı bul ve h(d-6)=18 eşitliğini kullan

Toplam boyalı alan S:

S=\dfrac{3d}{4}+\dfrac{(d-6)(h-3)}{4}
S=\dfrac{1}{4}\Big(3d+(d-6)(h-3)\Big)

(d-6)(h-3) ifadesini genişletmeden önce h(d-6)=18 olduğunu kullanalım:

\text{Kurulum: }(d-6)(h-3)=(d-6)h-3(d-6)
=(d-6)h-3d+18
\text{Ve }(d-6)h=18

Bunları yerine koy:

(d-6)(h-3)=18-3d+18
(d-6)(h-3)=36-3d

Şimdi S’ye geri dön:

S=\dfrac{1}{4}\Big(3d+36-3d\Big)
S=\dfrac{1}{4}\cdot 36
S=9

:white_check_mark: CEVAP: 9

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Dik üçgen
  • Tanım: Bir açısı 90^\circ olan üçgen.
  • Bu problemde: ABC ve EBD dik üçgenleri koordinatlarla modelledik.
  1. Üçgen alanı
  • Tanım: \dfrac{1}{2}\cdot \text{taban}\cdot \text{yükseklik}
  • Bu problemde: Bir üçgenin tabanını tabana dik uzaklıkla çarparak alanını bulduk.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Orta nokta yanlış yorumlama

  • Yanlış: EK = KD yerine K’yı ED üzerinde rasgele bir nokta almak.
  • Doğru: EK = KD demek K, ED segmentinin orta noktasıdır; koordinatlarda ortalamayı kullan.

:cross_mark: Taban-yükseklik karıştırma

  • Yanlış: AE’yi taban alıp yüksekliği AB olarak kullanmak.
  • Doğru: Dik taban ve ona dik uzaklık (x veya y koordinatı) doğru yüksekliği verir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?