B
D
E
ABC ve ABD birer dik üçgen
C
[AB] L [Ac] [AD] L [BD] m BAD) =a
|AE= |AC|. |AE|= 3.|ED|
Yukarıdaki verlere göre sina değerkaçtır?
4
5
YAYINLARI
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Alan Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Dik Üçgende Kosinüs: \cos\alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}
- Sinüslü Alan Teoremi: \text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)
- Trigonometrik Özdeşlik: \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Uzunlukların Tanımlanması
|ED| = k dersek, soruda verilen |AE| = 3 \cdot |ED| eşitliğinden:
|AE| = 3k
|AC| = |AE| = 3k
|AD| = |AE| + |ED| = 3k + k = 4k
Adım 2 — |AB| Uzunluğunun \alpha Cinsinden İfadesi
ABD dik üçgeninde \widehat{D} = 90^\circ ve m(\widehat{BAD}) = \alpha olduğundan:
\cos\alpha = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4k}{|AB|} \implies |AB| = \frac{4k}{\cos\alpha}
Adım 3 — Alan Parçalama Yönteminin Uygulanması
[AB] \perp [AC] olduğundan m(\widehat{BAC}) = 90^\circ’dir.
m(\widehat{BAD}) = \alpha olduğuna göre m(\widehat{EAC}) = 90^\circ - \alpha olur.
E noktası [BC] üzerinde yer aldığından:
\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABE) + \text{Alan}(AEC)
Alanları formüllerle yerine yazalım:
\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AE| \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |AE| \cdot \sin(90^\circ - \alpha)
\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha olduğunu ve bilinen değerleri yerine koyalım (|AB| = c olsun):
\frac{1}{2} \cdot c \cdot 3k = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 3k \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 3k \cdot \cos\alpha
Her iki tarafı \frac{1}{2} \cdot 3k ile sadeleştirelim:
c = c \cdot \sin\alpha + 3k \cdot \cos\alpha
c(1 - \sin\alpha) = 3k \cdot \cos\alpha
Adım 4 — |AB| Değerini Yerine Yazarak \sin\alpha’yı Bulma
Adım 2’de bulduğumuz c = \frac{4k}{\cos\alpha} eşitliğini yerine yazalım:
\frac{4k}{\cos\alpha} \cdot (1 - \sin\alpha) = 3k \cdot \cos\alpha
Her iki tarafı k’ya bölüp içler dışlar çarpımı yapalım:
4(1 - \sin\alpha) = 3\cos^2\alpha
\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = (1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) özdeşliğini yazalım:
4(1 - \sin\alpha) = 3(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)
\alpha dar açı olduğu için \sin\alpha \neq 1’dir. Dolayısıyla (1 - \sin\alpha) terimlerini sadeleştirebiliriz:
4 = 3(1 + \sin\alpha)
4 = 3 + 3\sin\alpha
3\sin\alpha = 1 \implies \sin\alpha = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \dfrac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Alan Paylaşımı: Bir üçgenin içindeki kesen doğru parçası, alanı iki parçaya ayırır; bu iki parçanın toplamı ana üçgenin alanına eşittir.
- Tümler Açılar: Toplamları 90^\circ olan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir (\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: [AD] doğrusunun [BC] kenarına dik olduğunu varsaymak. (Soruda yalnızca [AD] \perp [BD] verilmiştir, [AD] \perp [BC] değildir.)- Doğru Yaklaşım: Doğruların dikliklerini sadece soruda açıkça verilen bağıntılara göre kurmak ve ortak alan eşitliğinden faydalanmak.
Benzer bir geometri-trigonometri pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Dik Üçgende \sin\alpha Değerinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \cos\alpha = \frac{|AD|}{|AB|}
- \text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABE) + \text{Alan}(AEC)
- \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar Bağıntılarını Yazma
|ED| = k alınırsa:
|AE| = |AC| = 3k ve |AD| = 4k olur.
ABD dik üçgeninden:
|AB| = \frac{|AD|}{\cos\alpha} = \frac{4k}{\cos\alpha}
Adım 2 — Alan Eşitliğini Kurma
m(\widehat{BAC}) = 90^\circ ve m(\widehat{EAC}) = 90^\circ - \alpha olduğundan:
\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABE) + \text{Alan}(AEC)
\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 3k = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 3k \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 3k \cdot \cos\alpha
Her iki tarafı \frac{1}{2} \cdot 3k ile sadeleştirelim:
|AB|(1 - \sin\alpha) = 3k \cos\alpha
Adım 3 — Değerleri Yerine Koyup \sin\alpha’yı Çözme
|AB| = \frac{4k}{\cos\alpha} ifadesini yerine yazarsak:
\frac{4k}{\cos\alpha}(1 - \sin\alpha) = 3k \cos\alpha \implies 4(1 - \sin\alpha) = 3\cos^2\alpha
\cos^2\alpha = (1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) yazıp (1 - \sin\alpha) terimlerini sadeleştirelim:
4 = 3(1 + \sin\alpha) \implies 3\sin\alpha = 1 \implies \sin\alpha = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \dfrac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sinüslü Alan: İki kenar ve aralarındaki açının sinüsü bilindiğinde alan hesabı doğrudan yapılabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: [AD] doğru parçasını [BC] kenarına dik kabul etmek.
- Doğru Yaklaşım: Sadece verilen diklikleri ([AB]\perp[AC] ve [AD]\perp[BD]) kullanmak.
Bu yöntemi benzer bir trigonometri sorusu üzerinde test etmek ister misin?
@sorumatik_ai şimdi her iki tarafı 1/2 x 3 Karlı sadeleştirdik ya oradaki A B’nin yanındaki 1 - Sinan Fener’den geldi nereden geldi
Eşitlikteki (1 - \sin\alpha) İfadesinin Açıklaması
KULLANILAN KURAL:
- Ortak Çarpan Parantezine Alma: x - x \cdot y = x(1 - y)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Söz konusu denklem şu şekilde kurulmuştu:
\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 3k = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 3k \cdot \sin\alpha + \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 3k \cdot \cos\alpha
Adım 1 — \left(\frac{1}{2} \cdot 3k\right) ile Sadeleştirme
Eşitliğin her üç teriminde de ortak olan \frac{1}{2} \cdot 3k çarpanını bölelim:
- Sol taraf: \frac{\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 3k}{\frac{1}{2} \cdot 3k} = |AB|
- Sağdaki 1. terim: \frac{\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot 3k \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot 3k} = |AB| \cdot \sin\alpha
- Sağdaki 2. terim: \frac{\frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 3k \cdot \cos\alpha}{\frac{1}{2} \cdot 3k} = 3k \cdot \cos\alpha
Bu sadeleştirmeden sonra elimizde kalan denklem:
|AB| = |AB| \cdot \sin\alpha + 3k \cdot \cos\alpha
Adım 2 — Bilinenleri ve Bilinmeyenleri Gruplama
İçinde |AB| bulunan terimi (|AB| \cdot \sin\alpha) eşitliğin sol tarafına eksi olarak atalım:
|AB| - |AB| \cdot \sin\alpha = 3k \cdot \cos\alpha
Adım 3 — Ortak Paranteze Alma
Sol tarafı |AB| parantezine alırsak:
|AB| \cdot (1 - \sin\alpha) = 3k \cdot \cos\alpha
Buradaki 1, |AB| ifadesinin kendi katsayısıdır (|AB| = 1 \cdot |AB|).
-\sin\alpha ise sağdan sola geçen terimden gelmektedir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ÖZET:
(1 - \sin\alpha) ifadesi, sağ taraftaki |AB| \cdot \sin\alpha teriminin sol tarafa atılıp |AB| ortak parantezine alınmasıyla oluşmuştur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu adımın mantığı şimdi netleşti mi, devamındaki sadeleştirmeyi de açalım mı?