A) 24
E
B) 28
Yukarıdaki verilere göre, A(ABC) kaç br dir?
ABC üçgeninde
DE I/ BC
C) 32
A(DEF) = 8 b
JAE|=2-|ECI
D) 36
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Üçgende Benzerlik ve Paralel Doğrular Arasında Alan
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Paralel doğrular arasındaki yükseklik sabittir: Tabanı paralel doğrulardan biri ([DE]) üzerinde, tepe noktası ise diğer paralel doğru ([BC]) üzerinde olan üçgenlerin alanları taban ve paralel doğrular arasındaki uzaklık (h_1) ile hesaplanır:\text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir:k = \frac{|AE|}{|AC|} \implies \frac{A(\widehat{ADE})}{A(\widehat{ABC})} = k^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar ve Yükseklik Oranlarını Belirleme
|EC| = k seçilirse, verilen |AE| = 2 \cdot |EC| bağıntısına göre:
|AE| = 2k \quad \text{ve} \quad |AC| = |AE| + |EC| = 2k + k = 3k
DE \parallel BC olduğundan Temel Orantı Teoremi gereği \widehat{ADE} \sim \widehat{ABC} olur ve benzerlik oranı:
k_{\text{benzerlik}} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3}
A noktasından [DE] kenarına indirilen yüksekliğe h_2, [DE] ile [BC] paralelleri arasındaki yüksekliğe h_1 dersek:
\frac{h_2}{h_2 + h_1} = \frac{2}{3} \implies 3h_2 = 2h_2 + 2h_1 \implies h_2 = 2h_1
Adım 2 — A(\widehat{ADE}) Alanını Bulma
\widehat{DEF} ve \widehat{ADE} üçgenlerinin tabanları ortak ([DE]) olup, yükseklikleri sırasıyla h_1 ve h_2’dir:
A(\widehat{DEF}) = \frac{|DE| \cdot h_1}{2} = 8\text{ br}^2
A(\widehat{ADE}) = \frac{|DE| \cdot h_2}{2} = \frac{|DE| \cdot 2h_1}{2} = 2 \cdot A(\widehat{DEF})
A(\widehat{ADE}) = 2 \cdot 8 = 16\text{ br}^2
Adım 3 — A(\widehat{ABC}) Alanını Hesaplama
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşit olduğundan:
\frac{A(\widehat{ADE})}{A(\widehat{ABC})} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
Bulunan değeri yerine yazarsak:
\frac{16}{A(\widehat{ABC})} = \frac{4}{9} \implies A(\widehat{ABC}) = \frac{16 \cdot 9}{4} = 36\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Paralel Doğrular Arasında Alan Kaydırma: Tabanı [DE] olan ve tepesi paralel [BC] doğrusu üzerinde bulunan tüm üçgenlerin (F noktası nerede olursa olsun) alanı birbirine eşittir.
- Alan-Benzerlik İlişkisi: İki üçgen benzer ise alanlarının oranı kenar uzunlukları veya yükseklikleri oranının karesidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Alanlar oranını doğrudan benzerlik oranına eşitlemek (\frac{2}{3} almak).- Doğru Yaklaşım: Alanlar oranı, benzerlik oranının karesi olan \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} değerine eşittir.
Benzer bir alan-benzerlik pekiştirme sorusu çözmek ister misin?