ABC üçgeninde
m(widehat{ABC}) = 30^{\circ}, m(widehat{ACB}) = 15^{\circ}, |AC| = 4 cm’dir.
Yukarıda verilenlere göre, |AB| = x kaç cm’dir?
A) 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}
B) 2\sqrt{6} - 4
C) 3\sqrt{3} - 4
D) 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}
E) 4\sqrt{3} - 2\sqrt{6}
Sinüs Teoremi ile Üçgende Kenar Uzunluğu Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri doğru orantılıdır (Sinüs Teoremi):
\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sinüs Teoremini Uygulama
ABC üçgeninde m(\widehat{B}) = 30^\circ açısının gördüğü kenar |AC| = 4\text{ cm} ve m(\widehat{C}) = 15^\circ açısının gördüğü kenar |AB| = x’tir. Sinüs teoremini yazalım:
\frac{x}{\sin 15^\circ} = \frac{4}{\sin 30^\circ}
\sin 30^\circ = \frac{1}{2} değerini yerine koyduğumuzda:
\frac{x}{\sin 15^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \implies x = 8 \cdot \sin 15^\circ
Adım 2 — \sin 15^\circ Değerini Hesaplama
15^\circ açısını bilinen özel açılardan (45^\circ - 30^\circ) farkı olarak yazıp Sinüs Fark Formülü uygulayalım:
\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ
\sin 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
Adım 3 — x Değerini Bulma
Bulduğumuz \sin 15^\circ değerini eşitlikte yerine yazalım:
x = 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}\text{ cm}
CEVAP: A) 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} (|AB| = x = 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 15^\circ ve 75^\circ gibi özel açılar içeren sorularda \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} ve \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} kalıplarını ezbere bilmek trigonometrik Sinüs Teoremi sorularında doğrudan zaman kazandırır.