ABC üçgeni eşkenar, DH BC olduğuna göre, ABC nin alanı kaç br² dir?

LİSE
1

ABC üçgeni eşkenar,
DH \perp BC
|CH| = 2 br
|AD| = 6 br
olduğuna göre, ABC nin alanı kaç br^{2} dir?
A) 16\sqrt{3}
B) 21\sqrt{3}
C) 25\sqrt{3}
D) 29\sqrt{3}
E) 32\sqrt{3}

ABC üçgeni eşkenar, DH BC olduğuna göre, ABC nin alanı kaç br² dir?
ABC üçgeni eşkenar, DH BC olduğuna göre, ABC nin alanı kaç br² dir?1024×768 97.2 KB

2

ABC Eşkenar Üçgeninin Alanını Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  1. 30^\circ-60^\circ-90^\circ Özel Dik Üçgen Kuralı: 30^\circ’nin karşısındaki kenar x ise, 90^\circ’nin karşısındaki hipotenüs 2x olur.
  2. Eşkenar Üçgenin Alan Formülü: Bir kenarı a birim olan eşkenar üçgenin alanı:
\text{Alan} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — DHC Dik Üçgeninin Açılarını ve Kenarlarını Belirleme
ABC üçgeni eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açıları 60^\circ’dir. Buradan m(\widehat{C}) = 60^\circ olur.

DH \perp BC verildiği için DHC üçgeninde m(\widehat{DHC}) = 90^\circ’dir.
Üçgenin iç açıları toplamından:

m(\widehat{HDC}) = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ

Bu durumda DHC üçgeni bir 30^\circ-60^\circ-90^\circ dik üçgenidir.

Adım 2 — |DC| Uzunluğunu Hesaplama
30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeninde 30^\circ’nin gördüğü kenar |CH| = 2\text{ br} olarak verilmiştir.
Hipotenüs uzunluğu (|DC|), 30^\circ’lik açının karşısındaki kenarın 2 katıdır:

|DC| = 2 \times |CH| = 2 \times 2 = 4\text{ br}

Adım 3 — Eşkenar Üçgenin Bir Kenar Uzunluğunu (a) Bulma
AC kenarının tamamı |AD| ve |DC| parçalarının toplamına eşittir:

|AC| = |AD| + |DC| = 6 + 4 = 10\text{ br}

Dolayısıyla eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu a = 10\text{ br}'dir.

Adım 4 — Eşkenar Üçgenin Alanını Hesaplama
Alanı formülde yerine yazarak bulalım:

\text{Alan}(ABC) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\text{ br}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (25\sqrt{3}\text{ br}^2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. 30^\circ-60^\circ-90^\circ Özel Dik Üçgeni

  • Tanım: Hipotenüs uzunluğu, 30^\circ’lik açının karşısındaki kenarın 2 katıdır; 60^\circ’lik açının karşısındaki kenar ise 30^\circ’nin karşısındakinin \sqrt{3} katıdır.
  • Bu problemde: m(\widehat{C}) = 60^\circ ve |CH| = 2\text{ br} olduğundan hipotenüs |DC| = 4\text{ br} olarak hesaplanmıştır.

2. Eşkenar Üçgenin Alanı

  • Tanım: Tüm kenarları eşit olan üçgenin alanı \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} bağıntısıyla hesaplanır.
  • Bu problemde: Bir kenar uzunluğu a = 10\text{ br} bulunarak alana ulaşılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Kenar Bağıntısı Kurma

  • Yanlış: |AD| = 6\text{ br} değerini doğrudan eşkenar üçgenin bir kenarı kabul etmek.
  • Doğru: |AC| = |AD| + |DC| toplamını alarak tam kenar uzunluğuna ulaşmak.
  • Neden yanlış: D noktası AC kenarının üzerinde bir ara noktadır, tepe noktası ile taban arasındaki parçalardan yalnızca biridir.

Bu çözüm adımlarında aklına takılan bir nokta oldu mu, yoksa benzer bir geometri sorusuyla pekiştirmek ister misin?