ABC üçgen
[BE] ve [CD] açıortay
m(ADC) = 75^irc
m(AEB) = 60^irc
m(BFD) = x
Şekilde verilenlere göre, x kaç derecedir?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
ABC Üçgeninde Açıortaylar Arasındaki x Açısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’dir.
- Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir (veya doğru açı 180^\circ’dir).
- İki iç açıortayın kesişiminde oluşan dış açı: m(\widehat{BFD}) = m(\widehat{FBC}) + m(\widehat{FCB})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Açıortay Açılarını İsimlendirme
[BE] açıortay olduğundan:
m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = \beta
[CD] açıortay olduğundan:
m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{DCB}) = \gamma
A köşesindeki açıya m(\widehat{BAC}) = A diyelim.
Adım 2 — ADC ve ABE Üçgenlerinin İç Açılarını Yazma
ADC üçgeninin iç açıları toplamından:
A + \gamma + 75^\circ = 180^\circ \implies \gamma = 105^\circ - A
ABE üçgeninin iç açıları toplamından:
A + \beta + 60^\circ = 180^\circ \implies \beta = 120^\circ - A
Adım 3 — ABC Üçgeninin İç Açıları Toplamından A Açısını Bulma
ABC ana üçgeninde iç açılar toplamı 180^\circ’dir:
A + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ
Bulduğumuz \beta ve \gamma değerlerini yerine yazalım:
A + 2(120^\circ - A) + 2(105^\circ - A) = 180^\circ
A + 240^\circ - 2A + 210^\circ - 2A = 180^\circ
450^\circ - 3A = 180^\circ
3A = 270^\circ \implies A = 90^\circ
Adım 4 — \beta ve \gamma Değerlerini Hesaplama
A = 90^\circ \implies \beta = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ
A = 90^\circ \implies \gamma = 105^\circ - 90^\circ = 15^\circ
Adım 5 — x Açısını Hesaplama
FBC üçgeninde, x açısı F köşesindeki dış açıdır ([CD] doğrusu üzerinde \widehat{BFD} ve \widehat{BFC} bütünlerdir). Dolayısıyla bir dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:
x = \beta + \gamma
x = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ
(Alternatif olarak BDF üçgeninde: m(\widehat{BDF}) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ ve \beta = 30^\circ olduğundan; x = 180^\circ - (105^\circ + 30^\circ) = 45^\circ bulunur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 45 (yani x = 45^\circ)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üçgende İç Açıortay
- Tanım: Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır.
- Bu problemde: B ve C köşelerindeki açılar \beta-\beta ve \gamma-\gamma olarak iki eşit parçaya ayrılmıştır.
2. Üçgende Açı Bağıntıları
- Tanım: Herhangi bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
- Bu problemde: FBC üçgeninde x = \beta + \gamma bağıntısı doğrudan sonuca ulaştırmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
A Açısını Bulmadan Doğrudan Oran Kurmak
- Yanlış: 75^\circ ve 60^\circ açılarının aritmetik ortalamasını almak veya doğrudan toplamak.
- Doğru: Üçgenlerin iç açı toplamlarını kullanarak A açısını denklem yardımıyla çözmek.
- Neden yanlış: Açıortaylar simetrik bölünmediği için doğrudan ortalama almak geometrik olarak geçersizdir.
Bu soru tipinde iç teğet çemberin merkezi veya dış açıortay formülleriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?