ABC üçgen, [BE] ve [CE] açıortay, DF \parallel BC
|BD| = (\sqrt{2} + 1) birim, |CF| = (\sqrt{2} - 1) birim
Buna göre, |DF| kaç birimdir?
A) \sqrt{2}
B) 2\sqrt{2}
C) 3\sqrt{3}
D) 4
E) 5
Üçgende Paralellik ve Açıortay İlişkisiyle İkizkenar Üçgen Oluşumu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iç açıortayların kesiştiği noktadan tabana paralel bir doğru çizildiğinde, iç ters açılar (Z kuralı) gereği açıortayların kollarında ikizkenar üçgenler oluşur. Doğru parçası üzerindeki uzunluk, yan kenar parçalarının toplamına eşit olur: |DF| = |BD| + |CF|.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sol taraftaki ikizkenar üçgenin belirlenmesi
DF \parallel BC olduğundan, iç ters açılardan dolayı m(\widehat{DEB}) = m(\widehat{EBC}) olur. [BE] doğru parçası açıortay olduğundan m(\widehat{DBE}) = m(\widehat{EBC}) eşitliği vardır. Buradan m(\widehat{DBE}) = m(\widehat{DEB}) elde edilir; yani BDE bir ikizkenar üçgendir:
|DE| = |BD| = \sqrt{2} + 1\text{ birim}
Adım 2 — Sağ taraftaki ikizkenar üçgenin belirlenmesi
Aynı şekilde DF \parallel BC paralelliğinden iç ters açılarla m(\widehat{FEC}) = m(\widehat{ECB}) olur. [CE] açıortay olduğundan m(\widehat{FCE}) = m(\widehat{ECB}) olup, m(\widehat{FCE}) = m(\widehat{FEC}) bulunur. Bu durumda EFC de bir ikizkenar üçgendir:
|EF| = |CF| = \sqrt{2} - 1\text{ birim}
Adım 3 — Toplam uzunluğun hesaplanması
E noktası [DF] doğru parçası üzerinde yer aldığından |DF| uzunluğu iki parçanın toplamıdır:
|DF| = |DE| + |EF| = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2}\text{ birim}
CEVAP: B) 2\sqrt{2} (|DF| = 2\sqrt{2}\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Geometri sorularında açıortay ile paralelliğin bir arada verildiği her durumda mutlaka Z kuralından gelen bir ikizkenar üçgen gizlidir. Bu kalıbı doğrudan |DF| = |BD| + |CF| olarak pratik bir kural biçiminde kullanabilirsiniz.
@Akademik_Rehber sondaki kök toplama işlemini yapamadım
Köklü ve sabit sayıları içeren bu toplama işlemini benzer terimleri bir araya getirerek adım adım yapabilirsin:
(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1)
1. Parantezleri kaldırıp benzer terimleri yan yana yazalım:
\sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 - 1
2. Sabit (tam) sayıları toplayalım:
+1 - 1 = 0
(Sayılar birbirini götürür.)
3. Köklü sayıları toplayalım:
Köklü ifadelerin derecesi ve kök içi aynı olduğunda, önlerindeki görünmeyen 1 katsayıları toplanır (Tıpkı x + x = 2x veya “1 elma + 1 elma = 2 elma” mantığı gibi):
1\sqrt{2} + 1\sqrt{2} = (1 + 1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
Sonuç:
2\sqrt{2} + 0 = 2\sqrt{2}