ABC üçgen, |DC| = |BE| = 3 cm, |AD| = 4 cm |EC| = 5 cm olduğuna göre, \frac{Alan(DEC)}{Alan(ABC)} oranı kaçtır?
A) \frac{9}{34}
B) \frac{11}{35}
C) \frac{13}{40}
D) \frac{15}{56}
E) \frac{17}{41}
Sinüs Alan Formülü ile Üçgende Alan Oranı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir açısı ortak olan iki üçgenin alanları oranı, o açıyı oluşturan kenarların çarpımları oranına eşittir. Bu bağıntı Sinüs Alan Formülü (\text{Alan} = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin\alpha) yardımıyla doğrudan elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
ABC üçgeninde ortak olan C açısının kollarını oluşturan kenar uzunluklarını verilenlerden hareketle toplayalım:
- [AC] kenarı: |AC| = |AD| + |DC| = 4 + 3 = 7\text{ cm}
- [BC] kenarı: |BC| = |BE| + |EC| = 3 + 5 = 8\text{ cm}
- DEC üçgeninin C köşesine komşu kenarları: |DC| = 3\text{ cm} ve |EC| = 5\text{ cm}
Adım 2 — Alanların Oranlanması
Hem DEC üçgeni hem de büyük ABC üçgeni ortak C açısına sahip olduğundan, sinüs alan formülünü oranlayalım:
\frac{\text{Alan}(DEC)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot |DC| \cdot |EC| \cdot \sin(\widehat{C})}{\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \sin(\widehat{C})} = \frac{|DC| \cdot |EC|}{|AC| \cdot |BC|}
Bulunan değerleri yerine yazalım:
\frac{\text{Alan}(DEC)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 8} = \frac{15}{56}
CEVAP: D) \frac{15}{56}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir üçgenin iki kenarı üzerinde birer nokta seçilerek oluşturulan köşesi ortak üçgenlerde, yüksekliği bulmaya veya benzerlik aramaya gerek yoktur; doğrudan kollardaki parçaların çarpımını, kolların tamamının çarpımına oranlayarak saniyeler içinde sonuca ulaşabilirsiniz.