ABC üçgen
AD açıortay
DE I AC
IBD| = IDCI
IDEI =2 birim
IECI =1 birim
Buna göre, IABI kaç birimdir?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
ABC Üçgeninde Verilenlere Göre |AB| Uzunluğunun Bulunması
KULLANILAN KURALLAR / FORMÜLLER:
- İç Açıortay Teoremi ve İkizkenar Üçgen Özelliği: Bir üçgende bir köşeye ait açıortay aynı zamanda kenarortay ise o üçgen ikizkenardır (|AB| = |AC|) ve bu doğru parçası tabana diktir ([AD] \perp [BC]).
- Öklid Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:h^2 = p \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üçgenin İkizkenarlık Özelliğini Belirleme
- ABC üçgeninde [AD] doğru parçası hem iç açıortaydır hem de |BD| = |DC| olduğundan kenarortaydır.
- İç açıortay teoremine göre:\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = 1 \implies |AB| = |AC|
- Bu özellik yalnızca ikizkenar üçgende geçerlidir. Dolayısıyla [AD] doğrusu tabana diktir:m(\widehat{ADC}) = 90^\circ
Adım 2 — ADC Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısını Uygulama
- ADC üçgeninde m(\widehat{ADC}) = 90^\circ ve [DE] \perp [AC] olarak verilmiştir.
- Dik açıdan hipotenüse dikme indirildiği için Öklid bağıntısı uygulanır:|DE|^2 = |AE| \cdot |EC|
- Verilen |DE| = 2\text{ birim} ve |EC| = 1\text{ birim} değerlerini formülde yerine yazalım:2^2 = |AE| \cdot 14 = |AE| \implies |AE| = 4\text{ birim}
Adım 3 — |AC| ve |AB| Uzunluklarını Hesaplama
- |AC| kenarının toplam uzunluğu:|AC| = |AE| + |EC| = 4 + 1 = 5\text{ birim}
- Üçgen ikizkenar olduğundan:|AB| = |AC| = 5\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (5 birim)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Açıortay-Kenarortay-Yükseklik İlişkisi (YAKİ Kuralı)
- Tanım: Bir üçgende Yükseklik, Açıortay, Kenarortay ve İkizkenarlık özelliklerinden herhangi ikisi aynı doğru parçası üzerinde sağlanıyorsa diğer ikisi de kendiliğinden sağlanır.
- Bu problemde: [AD] hem açıortay hem kenarortay olduğu için üçgenin ikizkenar (|AB|=|AC|) ve [AD]'nin dik olduğunu doğrudan belirledik.
2. Öklid Yükseklik Bağıntısı
- Tanım: Dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, böldüğü parçaların uzunlukları çarpımına eşittir.
- Bu problemde: ADC dik üçgeninde hipotenüse ait DE yüksekliği üzerinden AE parçasının uzunluğunu bulmak için kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıortayın dikliğini görmezden gelmek
- Yanlış: [AD]'yi sadece açıortay olarak kabul edip ADC üçgeninin bir dik üçgen olduğunu fark etmemek.
- Doğru: Açıortay ve kenarortayın çakıştığı doğruların tabana kesinlikle dik indiğini ([AD] \perp [BC]) yazmak.
- Neden yanlış: m(\widehat{ADC}) = 90^\circ olduğu tespit edilmezse DE \perp AC çizgisinde Öklid bağıntısı geçerli olmaz.
Benzer bir geometri sorusuyla konuyu daha da pekiştirmek ister misiniz?
ABC Üçgeninde |AB| Uzunluğunun Bulunması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- İç Açıortay Teoremi: Bir üçgende açıortay aynı zamanda kenarortay ise o üçgen ikizkenar üçgendir (|AB| = |AC|) ve açıortay tabana diktir (AD \perp BC).
- Öklid Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (h^2 = p \cdot k).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkizkenar Üçgen Özelliğini Belirleme
ABC üçgeninde [AD] doğrusu hem açıortay hem de |BD| = |DC| olduğundan kenarortaydır.
İç açıortay teoremine göre:
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = 1 \implies |AB| = |AC|
Bir üçgende açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu doğru tabana diktir:
[AD] \perp [BC] \implies m(\widehat{ADC}) = 90^\circ
Adım 2 — ADC Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısını Uygulama
ADC bir dik üçgendir ve D köşesinden hipotenüs olan [AC] kenarına [DE] dikmesi indirilmiştir (DE \perp AC).
|AE| = x, |DE| = 2\text{ birim} ve |EC| = 1\text{ birim} olmak üzere Öklid bağıntısı uygulanır:
|DE|^2 = |AE| \cdot |EC|
2^2 = x \cdot 1
4 = x \implies |AE| = 4\text{ birim}
Adım 3 — |AC| ve |AB| Uzunluklarını Hesaplama
[AC] kenarının toplam uzunluğu:
|AC| = |AE| + |EC| = 4 + 1 = 5\text{ birim}
Üçgen ikizkenar olduğundan:
|AB| = |AC| = 5\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (5\text{ birim})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İkizkenar Üçgende YAKİ Kuralı
- Tanım: Bir üçgende Yükseklik, Açıortay, Kenarortay ve İkizkenarlık özelliklerinden herhangi ikisi varsa diğer ikisi de mutlaka vardır.
- Bu problemde: [AD] hem açıortay hem kenarortay olduğu için üçgenin ikizkenar (|AB| = |AC|) ve [AD]'nin dikme (AD \perp BC) olduğu belirlenmiştir.
2. Öklid Bağıntıları
- Tanım: Dik açıdan hipotenüse dik inildiğinde yükseklik ile taban parçaları arasındaki bağıntıdır.
- Bu problemde: m(\widehat{ADC}) = 90^\circ ve DE \perp AC olduğundan |DE|^2 = |AE| \cdot |EC| bağıntısı kullanılarak |AE| bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıortayın Dikliğini Unutmak
- Yanlış: [AD]'nin sadece kenarortay ve açıortay olduğunu düşünüp ADC üçgeninde diklik aramamak.
- Doğru: İkizkenar üçgende tabana inen açıortayın aynı zamanda 90^\circ olduğunu fark edip Öklid bağıntısını kurmak.
- Neden yanlış: Diklik fark edilmezse Öklid bağıntısı uygulanamaz ve soru çözümsüz kalır.
Öklid teoreminin diğer bağıntılarını (kenar bağıntıları) pekiştirmek için benzer bir geometri sorusu çözmemi ister misin?