ABC üçgen, açıortay, m(widehat BAD ) = m(widehat DAE ), , , ,

Question Answer
1

ABC üçgen, [AD] açıortay, m(widehat{BAD}) = m(widehat{DAE}), |AE| = 6 cm, |EC| = 8 cm, |DE| = 4 cm, |AB| = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç santimetredir?
A) 8
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18

ABC üçgen, açıortay, m(widehat BAD ) = m(widehat DAE ), , , , Yukarıdaki verilere göre,...
ABC üçgen, açıortay, m(widehat BAD ) = m(widehat DAE ), , , , Yukarıdaki verilere göre,...1024×768 145 KB

2

Üçgende İç ve Dış Açıortay Bağıntıları

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende aynı köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay arasındaki açı 90^\circ’dir. ABE üçgeninde [AD] iç açıortay, [AC] dış açıortay olduğunda tabandaki noktalar arasında harmonik oran bağıntısı geçerlidir:

\frac{|BD|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|CE|} = \frac{|AB|}{|AE|}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Dış Açıortayın Tespiti
C, A, F noktaları doğrusal kabul edildiğinde A noktasındaki doğru açı 180^\circ’dir. Verilen açı eşitliklerine göre m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAE}) = \alpha ve m(\widehat{FAB}) = m(\widehat{EAC}) = \beta diyelim:

2\alpha + 2\beta = 180^\circ \implies \alpha + \beta = 90^\circ

Buradan m(\widehat{DAC}) = \alpha + \beta = 90^\circ bulunur. [AD], ABE üçgeninin iç açıortayı olduğuna göre; ona dik olan [AC] doğrusu, ABE üçgeninin A köşesine ait dış açıortayıdır.

Adım 2 — Dış Açıortay Teoremi ile |BD| Uzunluğunun Bulunması
ABE üçgeninde [AC] dış açıortay bağıntısını uygulayalım:

\frac{|BC|}{|CE|} = \frac{|AB|}{|AE|}

|BC| = |BD| + |DE| + |EC| = |BD| + 4 + 8 = |BD| + 12 ve |CE| = 8\text{ cm} olduğundan:

\frac{|BD| + 12}{8} = \frac{x}{6}

ABE üçgenindeki [AD] iç açıortay bağıntısından da \frac{|BD|}{|DE|} = \frac{|AB|}{|AE|} yani \frac{|BD|}{4} = \frac{x}{6} elde edilir. Bu iki eşitliği birbirine eşitleyelim:

\frac{|BD| + 12}{8} = \frac{|BD|}{4} \implies |BD| + 12 = 2|BD| \implies |BD| = 12\text{ cm}

Adım 3 — x Değerinin Hesaplanması
İç açıortay oranında |BD| = 12\text{ cm} değerini yerine yazalım:

\frac{x}{6} = \frac{12}{4} = 3 \implies x = 6 \cdot 3 = 18\text{ cm}

:white_check_mark: CEVAP: E) 18 (x = 18\text{ cm})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir üçgende aynı köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay birbirine diktir (90^\circ). Bu durumu fark ettiğinizde doğrudan harmonik bölüntü formülünü (\frac{|BD|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|CE|}) kullanarak taban parçalarını saniyeler içinde bulabilirsiniz.