ABC üçgen, A, D ve E noktaları doğrusal, D noktası ABO ç- geninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır

Question Answer
1

B
2r
16
)(uut56
E 6
Xy20
ABC üçgen, A, D ve E noktaları doğrusal, D noktası ABO ç-
geninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır.
|AB| = 20 cm, BE= 16 cm, lEC| = 6 cm
Yukarıdaki verilere göre, |DC| =x kaç cm’dir?

B 2r 16 1(uut56 E 6 Xy20 ABC üçgen, A, D ve E noktaları doğrusal, D noktası ABO ç-...
B 2r 16 1(uut56 E 6 Xy20 ABC üçgen, A, D ve E noktaları doğrusal, D noktası ABO ç-...1024×768 71.1 KB

2

Üçgende Yükseklik ve Benzerlik ile Uzunluk Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Diklik Merkezi (Yüksekliklerin Kesim Noktası): Bir üçgende köşelerden karşı kenarlara indirilen dikmeler tek bir noktada (D) kesişir. Buradan [AE] \perp [BC] ve [CD] \perp [AB] olur.
  • Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerliği: Karşılıklı ikişer açısı eşit olan dik üçgenler benzerdir:
\triangle ABE \sim \triangle CDE \implies \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Diklik Merkezinin Özelliğini ve |AE| Uzunluğunu Bulma
D noktası diklik merkezi olduğundan A köşesinden D’den geçerek inen [AE] doğrusu tabana diktir:

m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{AEC}) = 90^\circ

ABE dik üçgeninde Pisagor bağıntısı (12-16-20 özel üçgeni) uygulanırsa:

|AE|^2 + |BE|^2 = |AB|^2
|AE|^2 + 16^2 = 20^2 \implies |AE|^2 + 256 = 400 \implies |AE| = 12\text{ cm}

Adım 2 — Açı Eşitliklerini Belirleme
C noktasından çıkıp D’den geçen doğru AB kenarına dik iner. Bu dikmenin ayağına F dersek, CF \perp AB olur:

  • ABE dik üçgeninde: m(\widehat{BAE}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ
  • CBF dik üçgeninde: m(\widehat{BCF}) + m(\widehat{B}) = 90^\circ

Buradan aynı açıyı 90^\circ’ye tamamladıkları için:

m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{DCE})

Adım 3 — Üçgenlerin Benzerliğini Kurma ve x Değerini Bulma
\widehat{AEB} = \widehat{DEC} = 90^\circ ve m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{DCE}) olduğundan \triangle ABE \sim \triangle CDE benzerliği vardır.

Benzerlik oranını yazalım:

\frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|AB|}{|CD|}

Bilinen değerleri yerine yazalım:

\frac{12}{6} = \frac{20}{x}
2 = \frac{20}{x} \implies x = 10\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 10\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Diklik Merkezi (Orthocenter): Üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Bu noktadan geçen her köşe doğrusu karşı kenara dik olmak zorundadır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: x’i bulmak için doğrudan üçgen eşitsizliği kurup aralık tahmin etmeye çalışmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Diklik merkezinin kenarlara dik oluşturduğunu fark edip oluşan dik üçgenler arasındaki açı ilişkisinden benzerlik kurmaktır.

Bu soru tipinde diklik merkezinin üçgenin dışına veya içine düşme durumlarıyla ilgili benzer bir alıştırma çözmek ister misin?