ABC üçgen
[AF] ve [BD] iç açıortay
AF \cap BD = \{E\}
|AB| = 24 birim
|AD| = 12 birim
|DC| = 18 birim
Buna göre, |FC| kaç birimdir?
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
Üçgende İç Açıortay Teoremi ve Kenar Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler (İç Açıortay Teoremi). Bir ABC üçgeninde A açısına ait açıortay için \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BF|}{|FC|} bağıntısı geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — [BD] İç Açıortayı ile |BC| Uzunluğunu Bulma
ABC üçgeninde [BD] doğru parçası B köşesine ait iç açıortaydır. AC kenarının toplam uzunluğu |AC| = |AD| + |DC| = 12 + 18 = 30 birimdir. İç açıortay teoremine göre:
\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DC|} \implies \frac{24}{|BC|} = \frac{12}{18}
Sadeleştirme yapıldığında \frac{12}{18} = \frac{2}{3} olur:
|BC| = \frac{24 \cdot 3}{2} = 36\text{ birim}
Adım 2 — [AF] İç Açıortayı ile |FC| Uzunluğunu Hesaplama
[AF] doğru parçası A köşesine ait iç açıortay olduğundan, BC kenarını komşu kenarlar (|AB| = 24 ve |AC| = 30) oranında böler:
\frac{|BF|}{|FC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}
Buradan |BF| = 4k ve |FC| = 5k yazılabilir. Kenarın tamamı |BC| = 36 birim olduğuna göre:
4k + 5k = 36 \implies 9k = 36 \implies k = 4
İstenen |FC| uzunluğu:
|FC| = 5k = 5 \cdot 4 = 20\text{ birim}
CEVAP: A) 20 (|FC| = 20\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İki iç açıortayın verildiği sorularda kesişim noktası (E) iç teğet çemberin merkezidir. Ancak bu soruda E noktasının konumuna girmeden, büyük üçgende her iki açıortay kuralını ardışık uygulamak en hızlı ve hatasız çözüme ulaştırır.