ABC üçgen
m(widehat{ACB}) = 30^\circ
|BA| = |AD| = 4 birim
|BD| = 6 birim
Buna göre, |AC| kaç birimdir?
A) 2\sqrt{3}
B) 2\sqrt{7}
C) 5
D) 6
E) 8
İkizkenar Üçgen ve Özel Açılı Dik Üçgen Yardımıyla Uzunluk Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İkizkenar bir üçgende tepe noktasından tabana indirilen yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler (|BH| = |HD|). 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeninde ise 30^\circ’lik açının karşısındaki dik kenar hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir:
\sin(30^\circ) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{1}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İkizkenar Üçgende Yükseklik ve Pisagor Bağıntısı
|AB| = |AD| = 4\text{ birim} olduğundan ABD üçgeni bir ikizkenar üçgendir. A köşesinden [BD] tabanına bir [AH] dikmesi indirelim. Yükseklik tabanı ortalayacağından:
|BH| = |HD| = \frac{|BD|}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ birim}
AHB dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak AH yüksekliğini bulalım:
|AH|^2 + |BH|^2 = |AB|^2 \implies |AH|^2 + 3^2 = 4^2
|AH|^2 = 16 - 9 = 7 \implies |AH| = \sqrt{7}\text{ birim}
Adım 2 — AHC Dik Üçgeninde |AC| Hipotenüsünün Hesaplanması
[AH] \perp [BC] olduğundan AHC bir dik üçgendir ve m(\widehat{ACH}) = 30^\circ olarak verilmiştir. 30^\circ’lik açının karşısındaki kenar |AH| = \sqrt{7}\text{ birim} olduğuna göre:
\sin(30^\circ) = \frac{|AH|}{|AC|} \implies \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{7}}{|AC|}
|AC| = 2\sqrt{7}\text{ birim}
CEVAP: B) 2\sqrt{7} (|AC| = 2\sqrt{7}\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir soruda hem ikizkenar üçgen hem de 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ gibi özel açılar birlikte yer alıyorsa, ikizkenar üçgenin tepesinden tabana indirilen dikme genellikle özel açılı üçgenin de yüksekliği olur ve soruyu tek hamlede Pisagor–trigonometri ilişkisine indirger.
@Akademik_Rehber sin den yapma
Trigonometri kullanmadan, doğrudan 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ özel dik üçgeni kuralı ile çözüm:
1. Adım:
ABD üçgeni ikizkenar (|AB| = |AD| = 4) olduğundan, A noktasından tabana indirilen [AH] dikmesi tabanı iki eşit parçaya böler:
|BH| = |HD| = \frac{6}{2} = 3\text{ birim}
2. Adım:
AHB dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygularsak:
|AH|^2 + 3^2 = 4^2
|AH|^2 + 9 = 16 \implies |AH|^2 = 7 \implies |AH| = \sqrt{7}\text{ birim}
3. Adım:
AHC üçgeninde açılar 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ olur.
Özel üçgen kuralına göre: 30^\circ’nin karşısındaki dik kenar uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
|AH| = \frac{|AC|}{2}
\sqrt{7} = \frac{|AC|}{2} \implies |AC| = 2\sqrt{7}\text{ birim}
Cevap: B) 2\sqrt{7}
@Akademik_Rehber 3-4-5 ücgeni niye olmaz
3-4-5 üçgeni olmamasının sebebi; 4’ün hipotenüs olmasıdır.
3-4-5 özel dik üçgeninde:
- Dik kenarlar: 3 ve 4
- Hipotenüs (90^\circ’nin karşısı): en uzun kenar olan 5 olmak zorundadır.
Bizim indirdiğimiz [AH] dikmesinde oluşan AHB dik üçgeninde ise:
- 90^\circ’nin karşısındaki hipotenüs: |AB| = 4
- Dik kenarlardan biri: |BH| = 3
Hipotenüsün (4), dik kenardan (5 olsaydı) daha küçük olması geometrik olarak imkânsızdır. Bu yüzden Pisagor uygulandığında diğer dik kenar 5 değil;
|AH|^2 + 3^2 = 4^2 \implies |AH|^2 = 16 - 9 = 7 \implies |AH| = \sqrt{7}
çıkar.
@Akademik_Rehber 90 ın karşısı iki katı olmayacak mı
“90^\circ’nin karşısı 30^\circ’nin karşısının 2 katıdır” kuralı yalnızca 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgenlerinde geçerlidir.
Şekilde iki farklı dik üçgen vardır ve bu kural sadece sağdakinde geçerlidir:
1. Sol Taraftaki Üçgen (AHB Üçgeni)
- Bu üçgen 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgeni DEĞİLDİR.
- Açısı 30^\circ olmadığı için “2 katı olma” kuralı burada işlemez.
- Sadece normal Pisagor bağıntısı geçerlidir:|AH|^2 + 3^2 = 4^2 \implies |AH| = \sqrt{7}
2. Sağ Taraftaki Üçgen (AHC Üçgeni)
- C açısı 30^\circ verildiği için burası 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ üçgenidir.
- Dediğiniz kural tam olarak burada devreye girer:
- 30^\circ’nin karşısındaki kenar: |AH| = \sqrt{7}
- 90^\circ’nin karşısındaki hipotenüs (|AC|): bunun 2 katı olur:
|AC| = 2 \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7}\text{ birim}