ABC üçgen
BA \perp AC
|AB| = 15 cm
|AC| = 20 cm
P \in [BC]
Verilenlere göre, |AP|'nun en büyük değeri en küçük değerinden kaç cm fazladır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Dik Üçgende Kenar Bağıntıları ve Uzaklık Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir noktanın bir doğru parçasına olan en kısa uzaklığı noktadan doğru parçasına indirilen dikmenin uzunluğudur (h yüksekliği). En büyük uzaklık ise doğru parçasının uç noktalarından birine olan mesafedir. Dik üçgende alan bağıntısından a \cdot h = b \cdot c kuralı kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
ABC dik üçgeninde dik kenarlar |AB| = 15\text{ cm} ve |AC| = 20\text{ cm} olarak verilmiştir. Pisagor teoremi (3-4-5 özel üçgeninin 5 katı) uygulandığında:
|BC| = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25\text{ cm}
Adım 2 — |AP| Uzunluğunun En Küçük Değerini Hesaplama
P \in [BC] olmak üzere, A noktasının [BC] doğru parçasına en kısa mesafesi, A köşesinden [BC] kenarına indirilen h dikme yüksekliğidir. Üçgenin alanı üzerinden öklid bağıntısı kurulursa:
|AB| \cdot |AC| = |BC| \cdot h \implies 15 \cdot 20 = 25 \cdot h \implies h = \frac{300}{25} = 12\text{ cm}
Buna göre |AP|_{\min} = 12\text{ cm} olur.
Adım 3 — |AP| Uzunluğunun En Büyük Değerini ve Farkı Hesaplama
A noktasının [BC] doğru parçası üzerindeki bir noktaya en uzak mesafesi, doğru parçasının uç noktalarından (B veya C) birinde gerçekleşir. |AB| = 15\text{ cm} ve |AC| = 20\text{ cm} olduğundan en büyük değer P = C noktasında alınır:
|AP|_{\max} = 20\text{ cm}
İki değer arasındaki fark:
|AP|_{\max} - |AP|_{\min} = 20 - 12 = 8\text{ cm}
CEVAP: C) 8 (|AP|_{\max} - |AP|_{\min} = 8\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir doğru parçası üzerindeki değişken bir noktaya çizilen uzunlukların minimum değeri daima dikme ayağında (h), maksimum değeri ise dikme ayağından en uzaktaki uç noktada gerçekleşir.