ABC üçgen
[BD] açıortay
[AE] kenarortay
[BD] \perp [AC]
|BE| = |EC|
|GE| = 4 cm
|DC| = 5 cm olduğuna göre, |BG| kaç cm dir?
A) 6\sqrt{5}
B) 2\sqrt{39}
C) 6\sqrt{3}
D) 4\sqrt{3}
E) 2\sqrt{5}
Üçgende Açıortay, Kenarortay ve Ağırlık Merkezi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İkizkenar Üçgen Kuralı: Bir üçgende bir açıya ait açıortay aynı zamanda karşı kenara dik (yükseklik) ise, bu üçgen ikizkenardır ve bu doğru parçası aynı zamanda kenarortaydır.
- Ağırlık Merkezi (G) Özelliği: Kenarortayların kesim noktası ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi, kenarortayı kenara 1 birim, köşeye 2 birim (1:2 oranı) olacak şekilde böler:|AG| = 2 \cdot |GE| \quad \text{ve} \quad |BG| = 2 \cdot |GD|
- Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:a^2 + b^2 = c^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkizkenar Üçgeni ve Kenarortayı Belirleme
ABC üçgeninde [BD] doğru parçası hem açıortay hem de yüksekliktir ([BD] \perp [AC]). Dolayısıyla ABC üçgeni |BA| = |BC| olan bir ikizkenar üçgendir.
Bu durum [BD]'nin aynı zamanda kenarortay olduğunu gösterir:
|AD| = |DC| = 5\text{ cm}
Adım 2 — G Noktasının Ağırlık Merkezi Olduğunu Görme
[AE] kenarortay olarak verilmiştir (|BE| = |EC|). [BD]'nin de kenarortay olduğu 1. Adımda kanıtlandığı için, bu iki kenarortayın kesiştiği G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
Ağırlık merkezinin 1:2 oranlama kuralından:
|AG| = 2 \cdot |GE| = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}
|BG| = 2 \cdot |GD|
Adım 3 — Dik Üçgende Pisagor Teoremi ile |GD| ve |BG| Uzunluğunu Bulma
[BD] \perp [AC] olduğundan, ADG bir dik üçgendir (m(\widehat{ADG}) = 90^\circ).
ADG dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayalım:
|GD|^2 + |AD|^2 = |AG|^2
|GD|^2 + 5^2 = 8^2
|GD|^2 + 25 = 64
|GD|^2 = 39 \implies |GD| = \sqrt{39}\text{ cm}
İstenen |BG| uzunluğu:
|BG| = 2 \cdot |GD| = 2\sqrt{39}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2\sqrt{39}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- YAKİ Kuralı: Bir üçgende Yükseklik, Açıortay, Kenarortay ve İkizkenarlık özelliklerinden herhangi ikisi varsa, diğer ikisi de kesinlikle vardır. Burada yükseklik ve açıortay bir arada olduğu için kenarortay ve ikizkenarlık doğrudan elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: G noktasını doğrudan ağırlık merkezi kabul edip [BD]'nin kenarortay olduğunu doğrulamadan işlem yapmak veya 1:2 oranını yanlış köşeye uygulamak (|GE| = 2 \cdot |AG| gibi).- Doğru Yaklaşım: Öncelikle açıortay ve yüksekliğin bir arada bulunmasından ötürü [BD]'nin kenarortay olduğunu tespit etmek, ardından köşeye 2k, kenara k kuralını doğru köşelere uygulamaktır.
Bu soru tipinde kullanılan ikizkenar üçgen özellikleri (YAKİ kuralı) ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?