ABC üçgen
|AE|=|AF|
m(ACB) =50°
m(ADB) =80°
m(BAD) =45°
50/
Yukarıdaki verilere göre, m(ABE) =x kaç derecedir?
A) 30
B) 25
C) 20
D) 15
E) 10
ABC Üçgeninde m(\widehat{ABE}) = x Açısının Hesaplanması
KULLANILAN KURALLAR:
- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180^\circ’dir.
- İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
- Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir: \alpha_{\text{dış}} = \theta_1 + \theta_2.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \triangle ABD Üçgeninde m(\widehat{ABD}) Açısının Hesaplanması
\triangle ABD üçgeninin iç açıları toplamı 180^\circ’dir:
m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{ADB}) + m(\widehat{ABD}) = 180^\circ
45^\circ + 80^\circ + m(\widehat{ABD}) = 180^\circ
125^\circ + m(\widehat{ABD}) = 180^\circ \implies m(\widehat{ABD}) = 55^\circ
Adım 2 — \triangle ADC Üçgeninde m(\widehat{DAC}) Açısının Hesaplanması
B, D, C noktaları doğrusal olduğundan:
m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ
\triangle ADC üçgeninin iç açıları toplamından:
m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{ADC}) + m(\widehat{ACD}) = 180^\circ
m(\widehat{DAC}) + 100^\circ + 50^\circ = 180^\circ
m(\widehat{DAC}) + 150^\circ = 180^\circ \implies m(\widehat{DAC}) = 30^\circ
Adım 3 — İkizkenar \triangle AFE Üçgeninin Taban Açılarının Bulunması
|AE| = |AF| olduğundan \triangle AFE ikizkenar üçgendir ve tepe açısı m(\widehat{FAE}) = m(\widehat{DAC}) = 30^\circ’dir.
Taban açıları birbirine eşit olacağından:
m(\widehat{AFE}) = m(\widehat{AEF}) = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ
Adım 4 — \triangle ABF Üçgeninde Dış Açı Kuralı ile x Değerinin Hesaplanması
\triangle ABF üçgeninde F köşesindeki dış açı m(\widehat{AFE}) = 75^\circ’dir.
Dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının (m(\widehat{BAF}) = 45^\circ ve m(\widehat{ABF}) = x) toplamına eşittir:
m(\widehat{AFE}) = m(\widehat{BAF}) + m(\widehat{ABF})
75^\circ = 45^\circ + x
x = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A seçeneğidir (30^\circ).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İkizkenar Üçgen Açısı
- Tanım: İki kenarı eşit olan üçgenin, bu kenarların karşısındaki açıları da eşittir.
- Bu problemde: |AE| = |AF| eşitliği kullanılarak tepe açısı 30^\circ olan üçgenin taban açıları 75^\circ olarak bulunmuştur.
2. Üçgende Dış Açı Özelliği
- Tanım: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır.
- Bu problemde: \triangle ABF üçgeninde x + 45^\circ = 75^\circ eşitliği kurularak doğrudan sonuca ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dış Açı Eşitliğini Yanlış Üçgene Uygulamak
- Yanlış: \widehat{AFE} açısını \triangle AFE yerine doğrudan büyük üçgenin bir dış açısı gibi almak.
- Doğru: \widehat{AFE} açısının, \triangle ABF üçgeninin F köşesindeki dış açısı olduğunu görmek.
- Neden yanlış: Çizgilerin kesişim noktalarına dikkat edilmediğinde açı bağıntıları yanlış üçgenler arasında kurulabilir.
Benzer bir üçgende açı sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?