abc üç basamaklı sayısında b rakamı a ile c nin aritmetik ortalamasına eşit olduğuna göre, bu koşula uygun kaç farklı abc sayısı yazılabilir?
A) 22
B) 27
C) 36
D) 45
E) 52
Üç Basamaklı Sayılarda Aritmetik Ortalama Şartı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Aritmetik Ortalama: b = \frac{a + c}{2} \implies a + c = 2b
- 2b bir çift sayı olduğundan, a + c toplamı daima çift sayı olmalıdır.
- İki tam sayının toplamının çift olması için sayıların her ikisi de tek ya da her ikisi de çift olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Basamak Şartlarını Belirleme
abc sayısı üç basamaklı olduğundan:
- a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} (a \neq 0)
- b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
a ve c seçildiğinde b = \frac{a+c}{2} değeri tek bir rakam olarak kendiliğinden belirlenir. Bu yüzden a ve c’nin aynı pariteye (teklik-çiftlik durumuna) sahip olduğu durumları incelemeliyiz.
Adım 2 — Durum 1: a ve c’nin İkisinin de Tek Sayı Olması
- a için seçilebilecek tek rakamlar: \{1, 3, 5, 7, 9\} \rightarrow 5 farklı değer
- c için seçilebilecek tek rakamlar: \{1, 3, 5, 7, 9\} \rightarrow 5 farklı değer
5 \times 5 = 25 \text{ farklı } (a, c) \text{ ikilisi}
Adım 3 — Durum 2: a ve c’nin İkisinin de Çift Sayı Olması
- a sıfır olamayacağı için seçilebilecek çift rakamlar: \{2, 4, 6, 8\} \rightarrow 4 farklı değer
- c birler basamağı olduğundan sıfır olabilir: \{0, 2, 4, 6, 8\} \rightarrow 5 farklı değer
4 \times 5 = 20 \text{ farklı } (a, c) \text{ ikilisi}
Adım 4 — Toplam Farklı Sayı Adedini Hesaplama
Oluşabilecek tüm durumların toplamı:
\text{Toplam} = 25 + 20 = 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 45
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Teklik-Çiftlik Durumu: Toplamın çift olması için \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift} veya \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift} kuralları geçerlidir.
- Basamak Şartı: Bir doğal sayının en solundaki basamağın (burada yüzler basamağı a) 0 olamayacağı kuralıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: a rakamının çift olduğu durumda 0’ı da dahil ederek 5 \times 5 = 25 almak ve toplamı 50 bulmak.- Doğru Yaklaşım: a yüzler basamağında yer aldığı için a \neq 0 olduğunu unutmamak (4 farklı çift değer).
Bu konuyu iyice pekiştirmek için rakamları birbirinden farklı olma koşulu eklenen benzer bir soru çözmek ister misin?