ABC eşkenar üçgeni şeklindeki kağıt, d doğrusu boyunca
katlandiğında C noktasının yeni yeri C oluyor. C’ noktasının
|ABna uzakiğı 3V3 cm’dir.
Yukanda verilenlere göre, lBKİ kaç cm’dir?
A) 6/3
B) 6
C
C) 4/3
D) 4
E) 3/3
ABC eşkenar üçgeni şeklindeki kağıt, d doğrusu boyunca katlandiğında C noktasının yeni yeri C oluyor
Eşkenar Üçgende Katlama ve Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni Kuralı:
30^\circ’nin karşısı k ise, 60^\circ’nin karşısı k\sqrt{3}, 90^\circ’nin karşısı (hipotenüs) 2k’dir. - Katlama Simetrisi: Bir nokta bir doğru boyunca katlandığında, katlama çizgisi bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesi olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — AC' Uzunluğunun Bulunması
C' noktasından [AB] kenarına inen dikmenin ayağına H diyelim. ABC eşkenar üçgen olduğundan \angle A = 60^\circ’dir.
Oluşan AHC' dik üçgeninde:
- \angle AHC' = 90^\circ
- \angle A = 60^\circ \implies \angle AC'H = 30^\circ
- |C'H| = 3\sqrt{3}\text{ cm} (60^\circ’nin karşısı)
30^\circ-60^\circ-90^\circ kuralına göre:
|AH| = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3\text{ cm}
|AC'| = 2 \cdot |AH| = 2 \cdot 3 = 6\text{ cm}
Adım 2 — Katlama Doğrusunun ve KDC Üçgeninin Analizi
C noktası d doğrusu boyunca katlandığında [AC] kenarı üzerindeki C' noktasına gelmektedir. Dolayısıyla d doğrusu, [CC'] doğru parçasının orta dikme doğrusudur.
d doğrusunun [AC] kenarını kestiği noktaya D dersek:
- d \perp AC \implies m(\widehat{KDC}) = 90^\circ
- D noktası [CC']'nün orta noktası olduğundan: |CD| = \frac{|CC'|}{2}
KDC dik üçgeninde:
- m(\widehat{KDC}) = 90^\circ
- m(\widehat{C}) = 60^\circ (Eşkenar üçgenin iç açısı)
- m(\widehat{DKC}) = 30^\circ
Buradan hipotenüs olan |KC| uzunluğu:
|KC| = 2 \cdot |CD| = 2 \cdot \left(\frac{|CC'|}{2}\right) = |CC'|
Adım 3 — Eşkenar Üçgenin Kenar Eşitliğinden |BK|'nin Bulunması
ABC eşkenar üçgen olduğu için [AC] ve [BC] kenar uzunlukları birbirine eşittir (|AC| = |BC|):
|AC| = |AC'| + |CC'| = 6 + |CC'|
|BC| = |BK| + |KC|
|KC| = |CC'| olduğunu 2. adımda bulmuştuk. İki kenarı birbirine eşitleyelim:
|BK| + |KC| = 6 + |CC'|
|BK| + |CC'| = 6 + |CC'|
|BK| = 6\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Katlama Çizgisi (Simetri Ekseni): Katlanan bir noktanın görüntüsü ile birleşimi, katlama eksenine diktir ve eksen bu parçayı iki eşit parçaya böler.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğunu bilmeden sorunun çözülemeyeceğini düşünmek.- Doğru Yaklaşım: Geometrik bağıntıları cebirsel olarak yazarak kenar uzunluğuna bağlı bilinmeyenlerin birbirini sadeleştirdiğini görmek.
Katlama geometrisinde benzer bir eşkenar üçgen pekiştirme sorusu çözmek ister misin?