ABC eşkenar üçgen
m(widehat{DAC}) = 30^irc
|CA| = 6\sqrt{3} birim
|AD| = 5 birim
|BE| = \sqrt{3} birim
ABC eşkenar üçgen olduğuna göre, |DK| kaç birimdir?
A) 3\sqrt{3}
B) 2\sqrt{7}
C) 6
D) 3\sqrt{5}
E) 7
DF // AB
DE // BC
DK // AC
mathcal{Ç}(ABC) = 39 birim
|DF| = 6 birim
|DE| = 3 birim
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Aşağıda sayfada yer alan 8. ve 9. soruların ayrıntılı ve adım adım çözümleri yer almaktadır.
8. Soru: Eşkenar Üçgende Uzunluk Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eşkenar üçgende tepe açısının açıortayı aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir:h = \frac{a\sqrt{3}}{2}
- Dik üçgende Pisagor Teoremi:c^2 = a^2 + b^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Açıyı ve Doğrunun Konumunu Belirleme
ABC bir eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açıları 60^\circ’dir.
m(\widehat{A}) = 60^\circ \implies m(\widehat{BAD}) = 60^\circ - m(\widehat{DAC}) = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ
m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = 30^\circ olduğundan [AD] doğrusu A köşesine ait açıortaydır. Bu doğru uzatıldığında tabana dik iner ve tabanı iki eşit parçaya böler. [AD]'nin [BC] kenarını kestiği noktaya H diyelim (AH \perp BC).
Adım 2 — Yükseklik ve Kenar Parçalarını Hesaplama
- Bir kenar uzunluğu: a = |AC| = 6\sqrt{3}\text{ birim}
- Yükseklik:|AH| = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ birim}
- Tabanın yarısı:|BH| = |HC| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ birim}
Adım 3 — DHE Dik Üçgeninin Kenarlarını Bulma
- |AD| = 5\text{ birim} olduğundan:|DH| = |AH| - |AD| = 9 - 5 = 4\text{ birim}
- |BE| = \sqrt{3}\text{ birim} olduğundan:|EH| = |BH| - |BE| = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ birim}
Adım 4 — Pisagor Bağıntısı ile |DE| Uzunluğunu Hesaplama
DHE dik üçgeninde (m(\widehat{DHE}) = 90^\circ):
|DE|^2 = |DH|^2 + |EH|^2
|DE|^2 = 4^2 + (2\sqrt{3})^2
|DE|^2 = 16 + 12 = 28
|DE| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B Seçeneği (2\sqrt{7})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9. Soru: Eşkenar Üçgende Paralel Doğruların Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna (a) eşittir:|DK| + |DE| + |DF| = a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşkenar Üçgenin Bir Kenar Uzunluğunu Bulma
Çevre (ABC) = 39\text{ birim} olarak verilmiştir. Eşkenar üçgenin 3 kenarı eşit olduğundan bir kenar uzunluğu (a):
a = \frac{39}{3} = 13\text{ birim}
Adım 2 — Paralellik Kuralını Uygulama
D noktasından kenarlara çizilen paralel doğruların toplamı bir kenara eşit olduğundan:
|DK| + |DE| + |DF| = a
|DK| + 3 + 6 = 13
|DK| + 9 = 13
|DK| = 13 - 9 = 4\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B Seçeneği (4)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eşkenar Üçgende Simetri: Tepe açısından indirilen açıortay; hem yükseklik (h), hem kenarortay (V_a), hem de simetri eksenidir.
- İç Noktadan Çizilen Paraleller: Bir eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara çizilen üç paralel doğru parçasının uzunlukları toplamı daima bir kenar uzunluğunu verir.
Bu iki konuyla ilgili pratik yapabileceğimiz benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?