ABC eşkenar üçgen
DE \perp AC
DF \perp BC
|DE| = \sqrt{3} birim
|DF| = 2\sqrt{3} birim
Buna göre, |FC| kaç birimdir?
A) 4
B) 2\sqrt{3}
C) 3
D) \sqrt{3}
E) 2
ABC eşkenar üçgen
ADC ikizkenar üçgen
m(widehat{ADC}) = 120^irc
|AD| = |DC| = 1 birim
A) \sqrt{3}
B) 2
C) \sqrt{5}
D) \sqrt{6}
E) 3
10. Sorunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Kirişler Dörtgeni ve Sinüs Teoremi: Karşılıklı açıları toplamı 180^\circ olan dörtgenlerin köşelerinden bir çember geçer. Çapı gören çevre açı 90^\circ’dir:2R = \frac{a}{\sin \alpha}
- Kosinüs Teoremi:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)
- Pisagor Bağıntısı:a^2 + b^2 = c^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dörtgenin Açılarını ve Çember Özelliğini Belirleme
ABC eşkenar üçgen olduğundan iç açısı m(\widehat{C}) = 60^\circ’dir.
CEDF dörtgeninde iç açılar toplamı 360^\circ olduğundan:
m(\widehat{EDF}) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 120^\circ
\widehat{DEC} = \widehat{DFC} = 90^\circ olduğundan, CEDF bir kirişler dörtgenidir ve [CD] bu çevrel çemberin çapıdır.
Adım 2 — |EF| Uzunluğunu Bulma
DEF üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır:
|EF|^2 = |DE|^2 + |DF|^2 - 2 \cdot |DE| \cdot |DF| \cdot \cos(120^\circ)
|EF|^2 = (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
|EF|^2 = 3 + 12 + 6 = 21 \implies |EF| = \sqrt{21}\text{ birim}
Adım 3 — Çemberin Çapını (|CD|) Bulma
CEDF çemberinde Sinüs Teoremi uygulanırsa ([CD] çap olduğundan 2R = |CD|):
|CD| = \frac{|EF|}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{7}\text{ birim}
Adım 4 — |FC| Uzunluğunu Hesaplama
DFC dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanır:
|FC|^2 + |DF|^2 = |CD|^2
|FC|^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{7})^2
|FC|^2 + 12 = 28
|FC|^2 = 16 \implies |FC| = 4\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A Seçeneği (4\text{ birim})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11. Sorunun Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 30^\circ - 30^\circ - 120^\circ Özel İkizkenar Üçgen Kuralı: Kenarlar a, a ise 120^\circ’lik açının karşısındaki kenar a\sqrt{3} birimdir.
- Pisagor Bağıntısı:a^2 + b^2 = c^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — ADC Üçgeninden Eşkenar Üçgenin Kenarını Bulma
ADC ikizkenar üçgeninde |AD| = |DC| = 1\text{ birim} ve m(\widehat{ADC}) = 120^\circ olarak verilmiştir.
- Taban açıları:m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA}) = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ
- 30^\circ - 30^\circ - 120^\circ üçgeni kuralından:|AC| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\text{ birim}
Adım 2 — Eşkenar Üçgenin Özelliklerini Yazma
ABC eşkenar üçgen olduğundan:
- |AB| = |BC| = |AC| = \sqrt{3}\text{ birim}
- m(\widehat{BCA}) = 60^\circ
Adım 3 — \widehat{BCD} Açısını ve BCD Dik Üçgenini Belirleme
C köşesindeki toplam açı:
m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{BCA}) + m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ
Bu durumda BCD üçgeni bir dik üçgendir.
Adım 4 — Pisagor Bağıntısı ile |BD| Uzunluğunu Hesaplama
BCD dik üçgeninde:
|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2
|BD|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2
|BD|^2 = 3 + 1 = 4 \implies |BD| = 2\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B Seçeneği (2\text{ birim})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kirişler Dörtgeni: Karşılıklı açıları toplamı 180^\circ olan dörtgendir ve köşelerinden çember geçer.
- 30^\circ-30^\circ-120^\circ Üçgeni: İkiz kenarlar x ise geniş açının karşısındaki kenar x\sqrt{3} olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Şekildeki açıları birleştirmeden doğrudan benzerlik veya tahmin yapmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Eşkenar üçgenin 60^\circ’lik iç açısı ile ikizkenar üçgenin 30^\circ’lik taban açısını toplayarak 90^\circ’lik dik üçgeni yakalamak.
Bu geometri kurallarını iyice pekiştirmek için benzer bir özel üçgen sorusu daha çözmek ister misin?